（讲义）第5章 5.1 5.1.2 导数的概念及其几何意义-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

5.1.2　导数的概念及其几何意义 学习任务 1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景．(数学抽象) 2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．(数学抽象) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算) 4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(数学运算) 下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出．实际上物体(看作质点)做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题． 知识点1　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝＝． 简记：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在(x0，f(x0))处的瞬时变化率． 知识点2　导数的几何意义 (1)导数的几何意义 如图，割线P0P的斜率k＝．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 k0＝＝f ′(x0)． (2)切线方程 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)． 知识点3　导函数 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝． f ′(x)与f ′(x0)有何关系？ [提示]　f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是f ′(x)在x＝x0时的函数值． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在x＝x0处的导数反映了函数在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢程度．(　　) (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关，但与x0的值有关．(　　) [答案]　(1)×　(2)√ [提示]　(1)导数反映的是函数在某一点处的变化的快慢程度，非在某区间上的． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是 (　　) A．在点(x0，f(x0))处与y＝f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率 B．过点(x0，f(x0))的切线的斜率 C．点(x0，f(x0))与点(0，0)的连线的斜率 D．函数y＝f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 D　[根据导数几何意义知，只有D正确．在点(x0，f(x0))处的切线可能与函数的图象有多个交点．] 3．设f(x)＝2x＋1，则f ′(1)＝________． 2　[f ′(1)＝＝ ＝2.] 4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f ′(1)＝________． 3　[由在M点处的切线方程y＝x＋2， 得f(1)＝×1＋2＝，f ′(1)＝. ∴f(1)＋f ′(1)＝＝3.] 5．已知函数f(x)＝x2－x，则f ′(x)＝________． 2x－　[∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， ∴＝2x＋Δx－，∴f ′(x)＝＝2x－.] 类型1　利用定义求函数在某点处的导数 【例1】　(1)若函数f(x)在x＝1处的导数为1，则＝(　　) A．2 B．1 C． D． (2)已知函数f(x)可导，且满足＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 (3)利用导数的定义，求函数y＝＋2在x＝1处的导数． (1)B　(2)B　[(1)根据导数的定义， ＝f ′(1)＝1. (2)由题意， ＝－＝－f ′(3)， 所以f ′(3)＝－2.] (3)[解]　因为Δy＝＝， 所以y′|x＝1＝＝＝－2. 反思领悟　1.利用定义求函数f(x)的导数的步骤 (1)求函数值的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； (2)求函数的平均变化率＝； (3)取极限，得f ′(x)＝. 其中，在第二步求平均变化率时，要注意对的变形与约分，如果变形或约分不彻底，可能导致极限不存在；在对取极限时，必须将变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式，如例1(3).　 2．求函数f(x)在x＝x0处的导数，通常有两种方法：一是直接利用函数在x＝x0处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义