（讲义）第4章 微专题2 数列求和-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

微专题2　数列求和 类型1　分组转化求和法 【例1】　设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝9，S3－a1＝36. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋log3an，求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)设数列{an}的公比为q， 则 解得a1＝3，q＝3. 故an＝a1qn-1＝3×3n-1＝3n. (2)由(1)可得bn＝3n＋log33n＝3n＋n. 则Tn＝(3＋1)＋(32＋2)＋…＋(3n＋n)＝(3＋32＋…＋3n)＋(1＋2＋…＋n)＝＝. 类型2　并项求和法 【例2】　已知数列{an}各项均为正数，且a1＝－2an＋1＝＋2an. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)nan，求b1＋b2＋b3＋…＋b20. [解]　(1)由－2an＋1＝＋2an得：(an＋1－an)·(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)，而n∈N*，an>0， 因此an＋1－an＝2，即数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，an＝a1＋(n－1)d＝2n， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n. (2)由(1)知，bn＝(－1)n·2n，则有b2n－1＋b2n＝(－1)2n-1×2(2n－1)＋(－1)2n×2×2n＝2， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b20＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b19＋b20)＝2×10＝20. 类型3　裂项相消法 【例3】　已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2－1. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列bn＝，求数列{bn}前n项和Tn. [解]　(1)数列{an}的前n项和为Sn＝(n－1)2－1，当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2－1＝n2－4n＋3， 所以Sn－Sn－1＝2n－3，即an＝2n－3(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝(1－1)2－1＝－1符合上式， 所以an＝2n－3(n∈N*)． (2)由(1)可得bn＝＝＝， Tn＝＋…＋＝(－1－1)＋＋…＋＝＝＝－. 类型4　错位相减法 【例4】　设Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝14，S6＝126. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝(n＋1)an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因S3＝14，S6＝126，即a4＋a5＋a6＝S6－S3＝112， 而a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)＝14q3，于是得q3＝8，解得q＝2，显然S3＝a1(1＋q＋q2)＝7a1＝14，解得a1＝2，因此an＝a1qn-1＝2n，所以数列{an}的通项公式是an＝2n. (2)由(1)知，bn＝(n＋1)·2n，则Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n， 于是得2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n+1，两式相减得：－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)×2n+1＝4＋－(n＋1)×2n+1＝－n×2n+1，所以Tn＝n·2n+1. 微专题强化练(二)　数列求和 一、选择题 1．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋3，则a4＋a5＋…＋a10等于(　　) A．171 B．21 C．10 D．161 D　[由题意得a4＋a5＋…＋a10＝S10－S3＝(2×102－3×10＋3)－(2×32－3×3＋3)＝161.选D. ] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　) A．1 B． C． D． C　[an＝＝＝， 所以S5＝＋…＋＝1－＝.故选C.] 3．已知在前n项和为Sn的数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－an－2，则S101＝(　　) A．－97 B．－98 C．－99 D．－100 C　[由an＋1＝－an－2，有an＋an＋1＝－2，则S101＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a100＋a101)＝1－2×50＝－99.故选C.] 4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n+1＋n2－1 C．2n＋n－2 D．2n+1＋n2－2 D　[由题可设数列{an}的前n项和为Sn， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an，即Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋…＋2n－1)， 所以Sn＝，故Sn＝2n+1－2＋n2，故选D.] 5．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a8＝31，S10＝210，则(　　) A．若bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前2 020项和为4 040 B．数列是公比为8的等比数列 C．S19＝19a9 D．若bn＝，则数列{bn}的前2 020项和为 AD　[由题意，设{an}的公差为d， 则