（讲义）第4章 微专题1 数列通项公式的求法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

微专题1　数列通项公式的求法 类型1　直接利用等差数列、等比数列的通项公式 【例1】　已知数列{an}的各项均为正数，a1＝6，点An(an，)在抛物线y2＝x＋1上，求数列{an}． [解]　∵点An(an，)在抛物线y2＝x＋1上，∴an＋1－an＝1， ∴数列{an}是以1为公差的等差数列． ∵a1＝6，∴an＝n＋5. 类型2　由Sn求通项公式 【例2】　已知数列{2n-1an}的前n项和为Sn＝9－6n，求数列{an}的通项公式． [解]　当n＝1时，20a1＝S1＝9－6＝3， ∴a1＝3. 当n≥2时，2n-1an＝Sn－Sn－1＝9－6n－[9－6(n－1)]＝－6， ∴an＝－，又a1＝3不符合上式， 故an＝ 类型3　由递推关系求通项公式 【例3】　在数列{an}中，an＝1，an＋1＝2an＋1，求an. [解]　∵an＋1＝2an＋1(n∈N*)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＋1＝2n，即an＝22－1(n∈N*)． 类型4　由an与Sn的关系式求通项公式 【例4】　数列{an}的前n项和Sn＝an－3，求数列的通项公式． [解]　由Sn＝an－3可得Sn＋1＝an＋1－3，两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝3an，a1＝S1＝a1－3，得a1＝6.所以数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式an＝2·3n. 类型5　构造法 【例5】　数列{an}中，a1＝2，an＋1＝，求数列{an}的通项公式． [解]　取以a1＝2为底的对数，得到log2an＋1＝，即log2an＋1＝2log2an，设bn＝log2an，则有bn＋1＝2bn，所以{bn}是以b1＝log2a1＝1为首项，2为公比的等比数列，所以bn＝2n-1，所以log2an＝2n-1，an＝22n-1. 微专题强化练(一)　数列通项公式的求法 一、选择题 1．数列1，－，－…的通项公式可能是(　　) A．an＝(－1)n-1 B．an＝(－1)n C．an＝(－1)n-1 D．an＝(－1)n C　[将数列1，－，－，…变为，－，－，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，再结合正负的调节，可知其通项为an＝(－1)n-1.故选C.] 2．已知a1＝2，an＋1＝an，则a2 024＝(　　) A．506 B．1 012 C．2 024 D．4 048 D　[由a1＝2，an＋1＝an可得＝，故a2 024＝··…··a1＝··…··2＝4 048，故选D.] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an，则a2 022＝(　　) A．22 022－2 B．22 023－2 C．22 024－2 D．22 021－2 B　[当n＝1时，S1＋2＝2a1，a1＝2，当n≥2时，Sn－1＋2(n－1)＝2an－1， Sn＋2n－Sn－1－2(n－1)＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋2，∴an＋2＝2(an－1＋2)， ＝2，{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，以2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n-1， an＝2n+1－2，a2 022＝22 023－2.故选B.] 4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＋…＋＝(　　) A． B． C． D． A　[由an＋1＝an＋n＋1得：an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2，各式相加得：an－a1＝2＋3＋…＋n，又a1＝1， ∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝， ∴＝＝2， ∴＋…＋＝2×＝2×＝.故选A.] 5．(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列{an}，则(　　) A．a5＝15 B．a100＝5 000 C．2an＋1＝an·an＋2 D．an＋1＝an＋n＋1 AD　[由题设，an＝，故a5＝＝15，a100＝＝5 050，A正确，B错误；又2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝，显然2an＋1≠an·an＋2，C错误；an＋n＋1＝＋n＋1＝＝an＋1，D正确．故选AD.] 二、填空题 6．观察数列，－，( )，－，(　　)…的特点，则括号中应填入的适当的数为________． ，－　[由题可得数列的通项公式为an＝(－1)n+1，∴a3＝，a6＝－.] 7．已知数列{an}为等比数列，且a5a6＝2，数列{bn}满足b1＝1，且＝an，