（讲义）第4章 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示法 学习任务 1．借助实例了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．理解数列的通项公式，能根据数列的通项公式写出数列的任意项．(逻辑推理) 3．理解数列与函数的关系，能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(数学运算、逻辑推理) (1)传说中，古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 请同学们想一想，以上两组数有什么特征？ (2)某种树木的分枝生长规律如图所示，你能预计到第6年时，树木的分枝数是多少吗？ 年份 1 2 3 4 5 6 分枝数 1 1 2 3 5 ？ 知识点1　数列的概念及一般形式 表示数列时不要漏写“{　　}”，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母． 知识点2　数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 若数列{an}满足a1<a2<a3，则数列一定是递增数列吗？ [提示]　不一定，因为只有部分项满足大小关系，不能确定数列的单调性． 知识点3　数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．表达形式为：an＝f(n)． 知识点4　数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如表： 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，3，5，7，…，2n是无穷数列． (　　) (2)－1，1，－1，1，…是一个摆动数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ [提示]　(1)无穷数列末尾带有“…”． (2)满足摆动数列的定义． 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列中能重复出现同一个数 B．1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列 C．1，1，1，1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 AD　[由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1，1，1，1，故A正确，C不正确；B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确．] 3．若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝________，224是该数列的第________项． 99　15　[a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项．] 4．根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式． (1)2，4，6，8，…； (2)2，4，8，16，…. [解]　(1)an＝2n(n∈N*)； (2)an＝2n(n∈N*)． 类型1　数列的概念与分类 【例1】　(1)(多选)以下四个数列中的递增数列是(　　) A．1，，… B．sin ，sin ，sin ，… C．－1，－，－，－，… D．1，，…， (2)给出下列说法： ①数列中的项数一定是无限的；②数列1，3，2，6，3，9，…是递增的无穷数列；③数列，…是递减的无穷数列． 其中正确说法的序号是________． (1)CD　(2)③　[(1)A是递减数列；B是摆动数列；CD是递增数列． (2)对于①，错误，数列中的项数可以是有限的或无限的；对于②，错误，该数列是无穷数列，但不是递增数列；对于③，正确．] 反思领悟　数列的判定方法及其分类 (1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数； (2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数是有限的还是无限的． [跟进训练] 1．给出下列数列： ①2015～2022年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180； ②无穷多个构成数列，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________． ①　②③　①　②　③　[①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．] 类型