（讲义）第4章 4.1 第2课时 数列的通项公式与递推关系-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　数列的通项公式与递推关系 学习任务 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．(逻辑推理) 2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算) 3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算) 观察下列钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型． 自上而下： 第1层钢管数为4，第2层钢管数为5，第3层钢管数为6，第4层钢管数为7，第5层钢管数为8，第6层钢管数为9，第7层钢管数为10. 若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即an＋1与an有没有关系？ 知识点1　数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的首项(或前几项)； ②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式． 知识点2　数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 知识点3　数列{an}的前n项和 (1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． (2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ S1与a1是什么关系？S2呢？ [提示]　由于S1表示数列的前1项的和，因此S1与a1相等，而S2表示数列的前2项的和，因此S2＝a1＋a2. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)递推公式是表示数列的一种方法． (　　) (2)所有的数列都有递推公式． (　　) (3)利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× [提示]　(2)随机的一个数列就不一定有递推公式． (3)只能确定相邻两项间的关系但无法确定{an}． 2．设数列{an}满足a1＝1，an＝1＋(n∈N*，n>1)，则a3＝________． 　[由已知，得a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝.] 3．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________． 　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝] 类型1　由递推公式求数列中的项 【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． [解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)， 且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 反思领悟　根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式． [跟进训练] 1．(源于人教B版教材)分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项． (1)1，2，4，7，11，…； (2)－1，2，5，8，11，…； (3)1，－2，4，－8，16，…. [解]　(1)因为a2－a1＝2－1＝1， a3－a2＝4－2＝2， a4－a3＝7－4＝3， a5－a4＝11－7＝4， 所以an＋1－an＝n， 即an＋1＝an＋n. 从而a6＝a5＋5＝11＋5＝16，a7＝a6＋6＝16＋6＝22. (2)因为a2－a1＝a3－a2＝a4－a3＝a5－a4＝3， 所以an＋1－an＝3， 即an＋1＝an＋3. 从而a7＝a6＋3＝a5＋3＋3＝11＋6＝17. (3)因为＝＝＝＝－2， 所以＝－2. 即an＋1＝－2an. 从而a7＝(－2)a6＝(－2)2a5＝(－2)2×16＝64. 类型2　由Sn求通项公式an 【例2】　根据下列数列的前n项和Sn求通项