（练习）课时分层作业6 等差数列前n项和的最值及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

课时分层作业(六)　等差数列前n项和的最值及应用 一、选择题 1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，公差d＝－，则Sn取得最大值时n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　) A．9 B．10 C．19 D．29 4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，芒种日影长为(　　) A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 5．(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，下列选项正确的有(　　) A．a10＝0 B．S7＝S12 C．S10最小 D．S20＝0 二、填空题 6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大． 7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则公差d的取值范围是________． 8．在等差数列{an}中，a3＋a10＝5，a7＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为________． 三、解答题 9．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？ 10．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　) A．35 B．32 C．23 D．38 11．(多选)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是(　　) A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 12．(多选)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则(　　) A．d＞0 　B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 　D．S5＞S6 13．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0. (1)求公差d的取值范围； (2)该数列的前几项和最大？ 15．在①an＋1－an＝－，②an＋1＝an＋n－8这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝9，________，求{an}的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 2/3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时分层作业(六) 1．D　[∵a1＝24>0，d＝－2<0， 且a13＝0，∴S12＝S13，∴n＝12或13时，Sn取最大值．故选D.] 2．A　[∵a1＝10，d＝－， ∴Sn＝10n＋＝－n2＋n. ∵n∈N*，抛物线y＝－x2＋x的对称轴为直线x＝，且开口向下， ∴当n＝3时，Sn取得最大值为.故选A.] 3．B　[钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．] 4．B　[由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{an}，Sn是其前n项和，则S9＝＝9a5＝85.5(尺)，所以a5＝9.5(尺)，由题知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5(尺)，所以a4＝10.5(尺)，所以公差d＝a5－a4＝－1，所以a12＝a5＋7d＝2.5(尺)．故