27 中篇 专题五 第三讲 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第三讲　圆锥曲线的综合问题(大题突破) [对应学生用书P81] [典例] (2022·新高考全国 Ⅰ 卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． ►命题立意 考查内容 本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的综合问题，属于课程学习情境 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上 将点A坐标代入方程求得a2＝2 ② 直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0 分别设出P，Q两点的坐标，并用坐标表达AP，AQ的斜率之和为0，同时两直线倾斜角互补 ③ 求l的斜率 讨论直线l斜率是否存在，设直线方程，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，再根据kAP＋kBP＝0，即可解出l的斜率 ④ tan ∠PAQ＝2 求出直线AP，AQ的斜率，再分别联立直线AP，AQ与双曲线方程求出点P，Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长．由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出△PAQ的面积 (2)逻辑思维和运算求解能力 将几何条件“直线AP，AQ的斜率之和为0”及“tan ∠PAQ＝2”用代数表达，需要学生对题干问题进行分析、综合、抽象与概括并能准确、清晰、有条理地进行表述和根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理． 解：(1)因为点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上， 所以－＝1，解得a2＝2， 即双曲线C：－y2＝1. 易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 联立可得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以由kAP＋kAQ＝0可得＋＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 所以2k×＋(m－1－2k)(－)－4(m－1)＝0， 化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0， 即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，解得k＝－1或m＝1－2k. 当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1. (2)不妨设直线PA，AQ的倾斜角为α，β(α<β). 因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π. 因为tan ∠PAQ＝2，所以tan (β－α)＝2， 即tan 2α＝－2， 解得tan α＝. 于是，直线PA的方程为y＝(x－2)＋1，直线AQ的方程为y＝－(x－2)＋1. 联立 可得x2－2(4－)x＋10－4＝0. 因为上述方程有一个根为2， 所以x1＝，y1＝. 同理，可得x2＝，y2＝. 所以直线PQ的方程为x＋y－＝0，|PQ|＝， 所以点A到直线PQ的距离d＝＝. 故△PAQ的面积为××＝. 第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系及证明问题 [对应学生用书P82] 1．直线与圆锥曲线相交时的弦长 斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝·|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝·(k≠0). 2．求解直线与圆锥曲线基本问题的方法 直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想、化归思想及数形结合思想，着重考查数学运算及逻辑推理能力，其解法一般是： (1)设直线方程，在直线的斜率不确定时，要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x＝my＋b的形式； (2)联立直线方程与曲线方程，得到一个一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系，得到交点横坐标或纵坐标的关系． [例1] (2023·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1. (1)求椭圆的方程和离心率e； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程． 解：(1)如图，由题意可知，故， 则b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1， 此椭圆的离心率e＝＝. (2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2).由，可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝. 由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)， 所以S△A1PQ＝×4×|yP－yQ|，S△A2FP＝×1×|yP|， 因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2|yP－yQ|＝