25 中篇 专题五 第一讲 直线与圆的方程（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

[对应学生用书P73] 新高考三年考情 第一讲　直线与圆的方程(小题专攻) [对应学生用书P74] [典例] (2022·新高考全国 Ⅰ 卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． ►命题立意 考查内容 本题以圆的方程为载体，考查圆与圆的位置关系和公切线方程，属于课程学习情境 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① 圆x2＋y2＝1和圆(x－3)2＋(y－4)2＝16 分别表示以(0，0)为圆心、1为半径和以(3，4)为圆心、4为半径的圆 ② 都相切的一条直线 求出两圆公切线中的一条即可，应先判断两圆位置关系为外切，有三条公切线 (2)空间想象能力 根据条件画出两圆，根据图形观察出其中一条公切线，写出方程即可． (3)逻辑思维能力和运算求解能力 首先确定求两圆的公切线，公切线条数与两圆位置关系有关，故在求公切线时，需先判断两圆的位置关系．由圆的方程可知两圆外切，故两个圆有三条公切线，其中一条为过两圆切点且与两圆圆心连线垂直的直线，另两条可设出直线方程，分别利用圆心到直线距离等于半径，求出参数，进而求出切线方程，考查考生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理的能力． x＝－1(或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0) 解析：如图， 因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝r1＋r2＝5，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x＝－1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x.由由对称性可知公切线l2过点(－1，－).设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0. ③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直．设公切线l3的方程为y＝－x＋t.易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去).所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0. 综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 1．三种距离公式 (1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. (2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两平行线间的距离：若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则平行线l1与l2的距离d＝. 2．直线的两种位置关系 (1)当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时， ①两直线平行：l1∥l2⇔k1＝k2； ②两直线垂直：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. (2)当两直线方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0时， ①l1与l2平行⇔A1B2－A2B1＝0； ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 1．过x－y＝0与x＋y＝2的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0 C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 C　解析：由得所以交点坐标为(1，1).又因为所求直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0. 2．(2023·湖南长沙模拟)已知直线l1：2mx－(m＋1)y＋5＝0，l2：(m＋1)x＋(m＋4)y－2＝0，则“l1⊥l2”是“m＝4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由l1⊥l2，知2m(m＋1)－(m＋1)(m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1，充分性不成立；当m＝4时，l1：8x－5y＋5＝0，l2：5x＋8y－2＝0，所以l1⊥l2，必要性成立．所以“l1⊥l2”是“m＝4”的必要不充分条件． 3．(多选)若光线自点(2，4)射入，经倾斜角为135°的直线l：y＝kx＋1反射后经过点(5，0)，则反射光线还经过的点为(　　) A．(14，2) B．(14，) C．(13，2) D．(13，1) BD　解析：因为直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率为k＝－1.设点(2，4)关于直线l：y＝－x＋1的对称点为(m，n)，则解得所以反射光线经过点(－3，－1)和点(5，0)，所以反射光线所在直线的斜率为＝，所以反射光线所在直线的方程为y＝(x－5).当x＝14时，y＝；当x＝13时，y＝1.故选BD. 4．(20