13 中篇 专题二 第三讲 第二课时 解三角形的综合应用（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二课时　解三角形的综合应用 [对应学生用书P32] [例1] (2023·新课标 Ⅰ 卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：方法一　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－)＝sin (－A)， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A. 又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0， 所以sin A＝. (2)在△ABC中，由正弦定理＝， 得BC＝×sin A＝×＝3. 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2， 由(1)得，tan A＝3>，所以<A<， 又A＋B＝，所以B>， 即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则×AB×h＝×AC×BC sin C， 即h＝×2×3×， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6. 方法二　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C， 因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B， 所以2sin (A－C)＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A cos C＝3 cos A sin C， 易得cos A cos C≠0， 所以tan A＝3tan C＝3tan ＝3. 又sin A>0，sin2A＋cos2A＝1， 所以sinA＝＝. (2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角， 所以cos A＝， 所以sin B＝sin (－A)＝(cos A＋sin A)＝×(＋)＝， 在△ABC中，由正弦定理＝， 得AC＝＝＝2， 故AB边上的高为AC×sin A＝2×＝6. 解三角形与三角函数综合问题的求解策略 (1)“三统一”，即“统一角，统一函数，统一结构”； (2)定理公式应用，注意正、余弦定理，三角形内角和定理及三角形面积公式的应用． [练1] (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝2. (1)求bc； (2)若－＝1，求△ABC面积． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理知cos A＝， 代入＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及－＝1， 得－＝1， 化简得－＝1. ∵A＋B＝π－C，∴sin (A＋B)＝sin C， ∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)， ∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos Asin B，∴－2cos A sin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴cos A＝－. ∵A∈(0，π)，∴sin A＝＝. 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝bc sin A＝×1×＝. [例2] (2023·山东淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab. (1)求角C； (2)若角C的平分线交AB于点D，且CD＝2，求2a＋b的最小值． 解：(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，可得a2＋b2－c2＝－ab. 由余弦定理，知cos C＝＝－＝－. 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由题意，得在△ACD中，由＝，得AD＝； 在△BCD中，由＝，可得BD＝. 所以c＝AD＋BD＝＋. 在△ABC中，由＝＝得＝＝， 解得a＝2(1＋)，b＝2(1＋)， 所以2a＋b＝2(3＋＋). 因为sin A>0，sin B>0， 所以2a＋b≥2(3＋2)＝2(3＋2)＝6＋4， 当且仅当2sin2A＝sin2B时取等号． 因此2a＋b的最小值为6＋4. 解与三角形有关的最值(范围)问题的方法 (1)定基本量：根据题意和已知图形，选择相关的边、角作为基本量，确定基本变量的范围； (2)构建函数：将待求范围变量，利用正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数； (3)求最值：利用函数有界性、单调性或基本不等式求最值． [练2] (2023·山东临沂二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a cos B＋b cos A＝2c cos C. (1)求C； (2)若c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)在△ABC中，由已知及正弦定理得sin A cos B＋sin