08 中篇 专题一 第二讲 数列及其综合问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　数列及其综合问题(大题突破) [对应学生用书P14] [典例] (2022·新高考全国 Ⅰ 卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求证：＋＋…＋<2. ►命题立意 考查内容 本题以数列前n项和与等差数列为载体，考查通项公式的求法与裂项相消法求和，属于课程学习情境 命题探源 参照人教A版选择性必修第二册第41页习题4.3第11题命制 ►关键能力 (1)数学符号与抽象 序号 关键信息 数学符号与抽象 ① a1＝1，是公差为的等差数列 根据等差数列的通项公式得＝1＋(n－1)＝ ② 求{an}的通项公式 注意分n＝1和n≥2两种情况 ③ 求证：＋＋…＋<2 由(1)的结论，利用裂项相消法求和即可得证 (2)逻辑思维和运算求解能力 该题利用等差数列的通项公式，前n项和与通项的关系，结合累乘法和裂项相消法进行运算，考查学生对问题或条件进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，准确、清晰、有条理地进行表述的能力以及根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，根据问题的条件，寻找与设计合理的运算途径的能力． (1)解：因为a1＝1，所以S1＝a1＝1，所以＝1. 又因为是公差为的等差数列， 所以＝1＋(n－1)＝，所以Sn＝， 所以，当n≥2时，Sn－1＝， 所以an＝Sn－Sn－1＝－， 整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝. 所以an＝a1×××…××＝1×××…××＝. 显然对于n＝1也成立， 所以{an}的通项公式an＝. (2)证明：因为＝＝2(－)， 所以＋＋…＋ ＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)<2. 判定和证明数列是等差(等比)数列的方法 (1)定义法：对于任意正整数n，验证an＋1－an(或)为与正整数n无关的某一常数． (2)中项公式法 ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列； ②若a＝an－1·an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，则{an}为等比数列． [例1] (2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)证明：因为＋n＝2an＋1，所以2Sn＋n2＝2nan＋n.　① 当n≥2时，2Sn－1＋(n－1)2＝2(n－1)a n－1＋(n－1).　② ①－②得， 2Sn＋n2－2Sn－1－ (n－1)2＝2nan＋n－2(n－1)·a n－1－ (n－1)， 即2an＋2n－1＝2nan－2(n－1)a n－1＋1， 即2(n－1)an－2(n－1)a n－1＝2(n－1). 所以an－a n－1＝1，n≥2且n∈N*. 所以{an}是以1为公差的等差数列． (2)解：由(1)可得a4＝a1＋3，a7＝a1＋6，a9＝a1＋8. 又a4，a7，a9成等比数列，所以a＝a4·a9. 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12. 所以an＝n－13. 所以Sn＝－12n＋＝n2－n＝(n－)2－. 所以，当n＝12或n＝13时，(Sn)min＝－78. 判断数列是否为等差数列或等比数列的策略 (1)定义法：将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列、等比数列的定义进行判断． (2)反例法：若要判定一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可． [练1] (2023·山东青岛一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S2，S4，S5＋4成等差数列，a2，a4，a8成等比数列． (1)求Sn； (2)记数列{bn}的前n项和为Tn，2bn－Tn＝，求证数列{bn－}为等比数列，并求{bn}的通项公式． (1)解：由S2，S4，S5＋4成等差数列，a2，a4，a8成等比数列，可得 即 解得所以Sn＝2n＋×2＝n2＋n. (2)证明：由2bn－Tn＝，得2b1－T1＝⇒b1＝.又2bn＝Tn＋＝Tn＋－，故2bn＋1＝Tn＋1＋－，两式相减可得2bn＋1－2bn＝bn＋1＋－－＋⇒ bn＋1－＋＝2(bn－＋). 而{bn－}＝{bn－＋}，所以{bn－}是公比为2的等比数列，且首项为－＝1. 故bn－＋＝2n-1.所以bn＝－＋2n-1. [例2] (2023·新课标 Ⅰ 卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2