河北省承德市高新区第一中学2023-2024学年高三上学期数学12月月考模拟试卷

河北省承德市高新区一中 2023-2024学年第一学期高三数学12月份月考模拟试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．3 5．已知，则（    ）A． B． C． D． 6．如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数对任意的都有恒成立，则 A． B． C． D．与的大小不确定 二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知双曲线一条渐近线与实轴夹角为，且，则离心率e的可能取值是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（    ） A． B．数列的通项公式为： C．数列的前n项和为： D．数列为递减数列 11．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 12．设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（    ） A． B． C．1 D．2 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13．已知向量满足，，则 ． 14．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ． 15．已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ． 16．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为 . 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题10分)已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求函数在上的值域． 18．(本小题12分)已知各项都为正数的数列满足，，，等差数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求数列的前项和. 19．(本小题12分)已知双曲线：经过点，，分别是的左、右焦点，，分别是的左、右顶点，且． (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于，两点，直线与直线的斜率分别为，，求证：为定值． 20．(本小题12分)如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 21．(本小题12分)已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知，若恒成立，求的值． 22．(本小题12分)在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求面积的最大值； (2)是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．A 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．C 9．BC 10．ACD 11．BD 12．ABC 13． 14．/ 15． 16．/ 17．【详解】（1） ， 的最小正周期为． 令，解得， 的单调减区间为． （2），． 令，则， ， ， 在上的值域为． 18．【详解】（1）因为数列的各项都为正数，且， 所以数列是等比数列. 设等比数列的公比为（且）. 由，，得， 即，解得或舍去）， 所以. 设等差数列的公差为. 由题意，得 解得 所以. （2）因为， 所以， 所以 . 19． 【详解】（1）设，，因为，所以，， 又，所以，得到， 又且，联立解得， 所以双曲线方程为. （2）由题知直线的斜率不为，设直线的方程为，， 由，消得到， 则有，， 由韦达定理得，， 又，所以， 故 将代入，得到为定值. 20．【详解】（1）证明：在中，，所以， 过点D作于点O，连接，则， 因为，，为公共边，所以. 所以，且，又，所以，所以， 又因为，平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量.