3.3.1 垂径定理同步练习 2023—2024学年 浙教版数学九年级上册

3.3　垂径定理 第1课时　垂径定理 基础过关全练 知识点1　圆的对称性 1.一个圆的对称轴(　　) A.仅有1条　　　　B.仅有2条　　　　 C.有无数条　　　　D.有有限条 知识点2　垂径定理 2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,则下列结论一定正确的有(　　) ①CE=DE;②BE=OE;③;④∠CAB=∠DAB;⑤AC=AD. A.4个　　　　B.3个　　　　 C.2个　　　　D.1个 3.(2023浙江杭州西湖期中)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点H.若AH=5,HB=1,则CD的长为(　　) A. 4.(2023浙江杭州拱墅期中)如图,在半径为10的圆O中,AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=16,则OP的长为(　　) A.6　　　　 B.8　　　　 C.6 5.(2020浙江湖州中考)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是　　　　.  6.【新独家原创】如图,AB是☉O的弦,过圆心O作OC⊥AB,延长CO交☉O于点D,点E是☉O上一动点,CD=18,AB=12,则CE的长的最小值为　　　　　.( )  能力提升全练 7.(2021四川凉山州中考,11,★☆☆)点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为(　　) A.3 cm　　　　B.4 cm　　　　 C.5 cm　　　　D.6 cm 8.如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连结BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是(　　) A.3 cm　　　　B. cm 9.【线段最值问题】如图,在☉O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交☉O于点D,则CD长的最大值为　　　　.  10.如图所示的是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且AB=26 m,OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD=5∶24.( ) (1)求CD的长; (2)汛期来临时,水面以每小时4 m的速度上升,求经过多长时间桥洞会被灌满. 11.如图所示,在以点O为圆心的两个同心圆(两圆的圆心均为点O)中,大圆的弦AB交小圆于点C,D. (1)求证:AC=BD; (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3,求AC的长. 素养探究全练 12.【推理能力】如图,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=6时,求出线段OD的长度. (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请求出其长度;如果不存在,请说明理由. (3)在(1)的条件下,求出线段OE的长度. 答案全解全析 基础过关全练 1.C　过圆心的直线都是圆的对称轴,∴一个圆的对称轴有无数条. 2.A　∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD, ∴CE=DE,,故①③正确. ∵AB⊥CD,CE=DE, ∴直线AB为线段CD的垂直平分线, ∴AC=AD,故⑤正确. ∵AB⊥CD,∴∠CAB=∠DAB(等腰三角形三线合一),故④正确. 根据题中条件无法证明BE=OE,故②不一定成立.所以一定正确的结论是①③④⑤.故选A. 3.C　如图,连结OD, ∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB, ∴DH=CD, ∵AH=5,HB=1,∴AB=AH+HB=6, ∴OD=OA=3, ∴OH=AH-OA=2, 在Rt△ODH中,DH=, ∴CD=2DH=2,故选C. 4.C　如图,作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连结OB,OD, ∴BM=AB=8,DN=CD=8, ∴OM==6,ON==6, ∵AB⊥CD,OM⊥AB,ON⊥CD, ∴四边形MONP是矩形, ∵OM=6=ON, ∴四边形MONP是正方形, ∴OP=.故选C. 5.答案　3 解析　过点O作OH⊥CD于H,连结OC,如图, 则CH=DH=CD=4,OC=AB=5, 在Rt△OCH中,OH==3, 因为AB∥CD,所以CD与AB之间的距离是3. 6.答案　2 解析　如图,连结OA, ∵OC⊥AB,AB=12,∴AC=AB=6, 设☉O的半径为r,在Rt△AOC中,OC2=OA2-AC2, 即(18-r)2=r2-62,解得r=10, ∴OC=CD-OD=18-10=8, 当C,O,E三点在同一条直线上,且点E在上时,CE的长最小,最小值为10-8=2. 能力提升全练 7.B　☉O内过点P的最长的弦为直径,最短的弦是垂直于这条直径的弦,如图所示,CD⊥AB于点P,连结OC. 根据题意,得AB=10 cm,CD=6 cm. ∵A