5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课件（第一课时正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 周期性与奇偶性 学习目标 1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.(数学抽象) 2.会求正弦函数、余弦函数的周期,并会应用.(数学运算) 3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性.(逻辑推理) 思维导图 设置情景 观察钟表,我们发现钟表上的时针每经过12小时运行一周,分针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？它们的周期分别是多少？ 具有周期性 分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。 新知引入 那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？ 当横坐标每隔个单位长度，都会出现纵坐标相同的点。 所以正弦函数也具有周期性的规律，且周期是。 探究新知 思考：如何用代数方法解释以上猜想？ 正弦函数的图象满足： 当自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等。 诱导公式： 探究新知 诱导公式： 当时， 当时， 知识梳理 知识点一： 1.函数的周期性 (1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得 对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 最小正数叫做f(x)的最小正周期. f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 非零常数T 最小的正数 知识梳理 2.正弦、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期.最小正周期为2π. 知识梳理 说明： (1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小 正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin 2x的最小正周期是π，因为y＝sin 2x＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x. (2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数f(x)＝c， 任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期． 知识梳理 思考：周期函数的周期唯一吗？ 不唯一 若f(x+T)=f(x),则f(x+nT)=f(x),n∈Z,且n≠0. (3)函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期: (1)函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= . (2)函数y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的最小正周期T= . 知识梳理 知识点二： 正弦、余弦函数的奇偶性： 正弦函数是 ，余弦函数是 . 奇函数 偶函数 判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？ 若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数， 若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数. 学以致用 题型一：三角函数的周期问题及简单应用 例1. 求下列函数的周期. 解(1)　方法一　(定义法) 方法二　(公式法) 所以周期为π. (2)y＝|sin x|; 学以致用 (2)y＝|sin x|. 解(2)图像法　作图如下： 观察图象可知周期为π. 方法二（公式法） 学以致用 反思感悟 y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝. （常用方法） 学以致用 题型二：三角函数的奇偶性及其应用 学以致用 学以致用 反思感悟 判断函数奇偶性的方法技巧 判断函数奇偶性时，必须先判断定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数． 学以致用 反思感悟 判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个． 常用结论： (1)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z); (2)要使y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z); (3)要使y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z); (4)要使y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z). 学以致用 题型三：函数的周期性、奇偶性的综合问题 √ 学以致用 学以致用 1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法:利用函数的周期性