8.4 等差数列通项性质及其应用 讲义-2024届高三数学一轮专题复习

8.4 等差数列通项性质及其应用 【抢分大招】 等差数列的有关性质 （1）若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq； （2），； （3）等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列； （4）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. 小贴士：做等差数列题目，要对以上公式熟练准确得掌握，特别是m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq，抓住题目特征选择适当的方法，会起到事半功倍得作用. 【典例1】（1）在等差数列中，若，，则（ ） A. B.1 C. D. （2）数列满足且，则的值是（ ） A. B. C.2 D. 【答案】C C 【解析】（1）由题意知，所以.故选C. （2）由题意知，数列满足，可得，∴为等差数列，且.又由等差数列的性质，可得，即，∴故.故选C. 【典例2】在等差数列中，，，且，则（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【解析】∵，∴等差数列是递增数列．由数列是等差数列，得，即，由，∴或（舍去）.故选C． 【抢分训练】 1.在等差数列中，，，则（ ） A.2 B.5 C.9 D.11 【答案】C 【解析】在等差数列中，也成等差数列.所以，即 ，则. 故选C. 2.等差数列中，若，则等于 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】因为等差数列中，，所以，由等差数列的性质得，.故选C. 3.在△中，分别为△的内角的对边，且，则下列结论一定成立的是（ ） A.成等差数列 B.成等差数列 C.成等差数列 D.成等差数列 【答案】A 【解析】∵， ∴，∴， ∴.∴成等差数列.故选A. 4.已知等差数列中，，，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由题意知，数列是等差数列，将，与，两式相加得，所以.故选B. 5.在等差数列中，，．记，则数列（ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 【答案】B 【解析】由题意可知，等差数列的公差， 则其通项公式为：， 注意到，且由可知， 由可知数列不存在最小项， 由于， 故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选B. 6.设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________. 【答案】100 【解析】设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.故答案为100. 7.已知数列的首项，其前项和为，且满足，若数列是递增数列，求数的取值范围. 【解析】由可得：， 两式相减得： 两式相减可得： 数列，，...是以为公差的等差数列，数列，，...是以为公差的等差数列 将代入及可得： 将代入可得 要使得，恒成立 只需要即可 ，解得. 则的取值范围是. 故答案为. 学科网（北京）股份有限公司 $$