第4.4讲 数列求和综合应用-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）

第四章 数列 第4.4讲 数列求和综合应用 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法． 1、分组求和与并项求和 2、错位相减法求和 3、裂项相消法求和 数列求和的几种常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝. 2．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项技巧 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 常用结论 常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝. (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2. (3)12＋22＋32＋…＋n2＝. (4)13＋23＋33＋…＋n3＝2. 题型1、分组求和与并项求和 1．已知数列的前项和为，，等比数列的公比为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前10项和． 2．在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 题型2、错位相减法求和 4．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和． 5．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 6．设公差不为0的等差数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和. 题型3、裂项相消法求和 7．已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 8．记为数列的前项和，若，. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 9．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前n项和，若为数列的前n项和，且 (1)求数列的通项公式； (2)求. 一、单选题 1．已知数列为等差数列，首项为，公差为，数列为等比数列，首项为，公比为，设，为数列的前项和，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．数列中，，，则（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 3．设数列的前n项和为，则（　　） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，则（    ） A．1012 B． C．2023 D． 5．高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（    ） A．2023 B．4046 C．2022 D．4044 6．已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 7．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（    ） A．421 B．451 C．439 D．935 8．已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　） A． B． C．11 D．17 二、解答题 9．设数列是公差为的等差数列． （1）推导的前项和公式； （2）证明数列是等差数列． 10．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和为. 11．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最小值. 12．已知数列，若存在正整数，对一切，都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期． （1）已知，，求数列的前项和； （2）数列，，，，…的最小正周期是多少？并求这个数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 第4.4讲 数列求和综合应用 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法． 1、分组求和与并项求和 2、错位相减法求和 3、裂项相