第4.3.1讲 等比数列的性质及其应用（第2课时）-2023-2024学年新高二数学同步精讲精练宝典（人教A版2019选修第二、三册）

第四章 数列 第4.3.1讲 等比数列的性质及其应用（第2课时） 1． 类比等差数列的性质，理解掌握等比数列的性质，能应用等比数列的性质解决简单问题．　 2． 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 1、等比数列性质的应用 2、等比数列的实际应用 3、等比数列性质的综合应用 知识点一　等比数列通项公式的变形推广 1．(1)an＝a1·qn－1＝·qn，当q>0且q≠1时，an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)等比数列{an}的图象是指数型函数f(x)＝·qx的图象上的孤立点． 2．设{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1＝am·qn－m(m，n∈N*)． 知识点二　等比数列的性质 在等比数列{an}中，设{an}的公比为q. (1)若m＋n＝s＋t(m，n，s，t∈N*)，则am·an＝as·at． ①如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，则am·an＝a． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，ap成等比数列． 特别地，若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk． 题型1、等比数列性质的应用 1．在正项等比数列中，若，则的公比（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知等比数列的前3项积64，，则等于（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 3．已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 4．在等比数列中，如果，，那么（    ） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，那么(　　) A． B．或 C． D．或 题型2、等比数列的实际应用 6．某工厂去年产值为，计划10年内每年比上一年产值增长，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过？（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（    ） A． B． C． D． 8．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按照同样的方法可以不断构造出新的数列．现将数列1，3进行构造，第1次得到数列1，4，3；第2次得到数列1，5，4，7，3；依次构造，第次得到数列1，，3．记，若成立，则n的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（    ）． 参考数据： A．17.9万亿 B．19.1万亿 C．20.3万亿 D．21.6万亿 10．古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（    ） A．数列是等差数列，且公差为 B．数列是等比数列，且公比为 C．数列是等比数列，且公比为 D．数列是等差数列，且公差为 题型3、等比数列性质的综合应用 11．设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有最大值 12．正项等比数列中，，，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 13．在等比数列中，如果，，那么（    ） A．72 B．81 C．36 D．54 14．已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．是递减数列 D．存在最小值 15．已知等比数列中，，，则公比（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 一、单选题 1．在等比数列中，若，则（    ） A．6 B．9 C． D． 2．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 3．在正项等比数列中，，则的公比为（    ） A．或3 B．3 C．2或 D．2 4．已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 5．等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等比数列中，，则公比（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．等比数