专题一 数列通项公式的求法课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题一 通项公式的求法 类型一 等差、等比数列求通项公式 等差数列的通项公式: 类型二 由与的关系求通项公式 P9[例3] 已知各数列的前项和公式,求的通项公式. 题型1 已知求 已知数列的前项和公式,求通项公式的的步骤: 方法总结 (1)当时,. (2)当时,根据写出,化简 . (3)如果也满足当时,求得的通项公式,那么通项公式可以合并起来写; 如果不满足当时, 的通项公式,那么数列的通项公式要分段表示为 例2. 解: ① ② ①-②,得 题型2 相互转化 解法2: 小结:题目中有 Sn 求 an,必用作差法. 谁简单化掉谁 例2. 练习.(全国II,2015) 解: 例1. 解: 题型3 隐藏的前项和 例. 数列中, ,对所有都有,则_. 解: 得, 变式 知前项积求 当时有 则 ① ② 类型三 由递推公式求通项公式 题型1 累加法 已知条件为 型 或 (总之能化成后一项减去它的前一项等于含的式子) (1)把原递推公式转化为 解题步骤: (2)再利用累加法(逐差相加法)求解 即 P33例3 已知数列满足 , 求 P33[针对训练] 在数列中, , .求. 已知条件为 型 或 (总之能化成后一项除以它的前一项等于含的式子) (1)把原递推公式转化为 解题步骤: (2)再利用累积法(逐差相乘法)求解 即 题型2 累积法 P33例4 已知数列满足 , ,求 . P33[针对训练] 已知, ,求. 则可考虑待定系数法设 构造的新数列 是首项为 可先求出新数列的通项公式,再反解出 通用方法:待定系数法 题型3 构造法 公比为的等比数列 为待定的系数 (一) 若数列相邻两项与满足 P33[例5] 已知在数列中, , ,求 . (二) 若数列相邻两项与满足 用待定系数法设 与为待定的系数 构造的新数列 是首项为 可先求出新数列的通项公式,再反解出 公比为的等比数列 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例. 用待定系数法设 构造的新数列 是首项为 可先求出新数列的通项公式,再反解出 公比为的等比数列 (三) 若数列相邻两项与满足 例. (四) 若数列相邻两项与满足 两边同除以 得 新数列 是首项为 可先求出新数列的通项公式,再反解出 公差为的等差数列 例.数列满足: ,求的通项公式. 变式:数列中, , ,求通项公式. 解(法一): 两边同除以 上面各式累加可得 解(法二): 变式:数列中, , ,求通项公式. 两边同除以 (五) 若数列相邻两项与满足 两边同除以an+1an 例:数列中, 求通项公式. 类型四 其他类型求通项公式 取倒法 例.数列满足: ,求的通项公式. 例.设{an }是首项为1的正数数列,且(n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 (n∈N﹡),求an. 解:(n+1)a2n+1–na2n+an+1an=0 分解因式为 (an+1+an) [(n+1)an+1–nan]=0. ∵an>0 , ∴ an+1+an≠0. ∴(n+1)an+1–nan=0,即 因式分解 开方或平方法 例.数列中, ,求的通项公式. 例. 解: 周期数列 取对数后构造等比数列 例.数列中, ,求的通项公式. 解:由条件,知an+1-an===-, 则(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(1-)+(-)+ (-)+…+(-),所以an-a1=1-. 因为a1=,所以an=+1-=-. 解:依题意有a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3, 逐项累加有an-a1=1+3+…+2n-3==(n-1)2=n2-2n+1, 从而an=n2-2n+3. 解:由an+1= an,得=, 故an= … a1= … =,即an=. 解:由已知得=,an= … a1= … 3=. 解:设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t), 即an+1=2an-t,则t=-3. 故递推公式为an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且==2. 所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列, 所以bn=4 2n-1=2n+1,即an=2n+1-3. 解:设 , 对比系数得 解得 故 解:设 , 对比系数得 解得 故 以2为公比, 为首项的等比数列。 故 即 解 将 两边平方整理得 。 数列{ }是以 =4为首项,3为公差的等差数列。 。 因为 >0,所以 。 解:由题意知 >0,将 两边取对数得: ,即 , 所以数列 是以 = 为首项,公比为2的等比数列, 即 $$