1.4.3 一元二次不等式的应用教案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1章 预备知识 一元二次函数与一元二次不等式 1.4.3 一元二次不等式的应用 · 教学目标 1. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2. 通过解一元二次不等式解决实际问题. · 教学重难点 · 重点：利用一元二次不等式解决实际问题. 难点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型． · 教学过程 · 一、新课导入 温故知新：同学们，我们在上节课学习了一元二次不等式及其解法，有图像法和判别式法两种方法，一般步骤为： （1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； （2）计算相应的判别式； （3）当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根； （4）根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集. 想一想：同学们，了解了一元二次不等式的解法后，我们应如何运用呢？面对生活中一些常见的实际问题，你能否运用一元二次不等式解决出来呢？ 答案：结合一元二次不等式及其解法，了解一元二次不等式的现实意义，把实际问题中的文字语言转化为数学语言，构建数学模型，解决实际问题. 设计意图：通过对旧知的复习，巩固学生对一元二次不等式的求解基础，并且引出新的课题，激发学生的学习兴趣，让学生在对新问题的挑战中，进一步深化数学建模思想，对这个强有力的学科工具的运用方法更加灵活多变． 三、应用举例 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大? 分析：首先将大问题转化为几个小问题，然后分步完成： （1）你能用含x的表达式分别表示租金提高空间、每间客房日租金提高值和租金总收入吗?（2）租金总收入y与每间客房日租金提高的比例x的函数关系如何? （3）利用题目中所给的不等关系求解. 解： 设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到元，则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元. 又因为每天客房的租金总收人不低于1800元，所以 . 化简，得 . 解得 . 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以. 因此，，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元. 想一想：遇到文字类的应用题，我们应该如何巧妙将文字语言转化为数学语言呢？ 答案：遇到大篇幅的文字不要慌，善用分步思想将大问题转化为小问题，首先用一个未知量表示多个未知量，然后列出未知量之间的关系表达式，求出结果. 例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：. （1）设袁阳每月获得的利润为w（单位:元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系. （2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少? 分析：选取合适的字母表示题中的未知数，用未知数表示出销售利润和销售量，再代入题目中所给关系式求解. 解：(1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为. (2)由每月获得的利润不小于3000元，得 . 化简，得 . 解得 . 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以 . 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则 . 由，得. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元. 知识点：与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题． 解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下： （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解. 设计意图：我们主要针对常见的一元二