考点7.1 概率 题型7 概率与函数（或数列）的综合讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点7.1 概率 题型7 概率与函数（或数列）的综合 母题模型 解读： 玩家第1次抽盲盒并抽中奖品为事件， （2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个 盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且 每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中推理： 条件概率 推理： 条件概率 奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖解读： 条件概率 品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽 中的概率为．记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，联想： 第2次中 奖分两种情况 则（    ）推理：证明等比数 列的方法：定义法， 等比中项 A． B．数列为等比数列 C． D．当时，越大，越小联想： 第2次中 奖分两种情况 推理：考查的 单调性 拆题： 玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件 当为奇数时 当为偶数时 答案：ABC 数列为摆动数列 方法总结：一、概率与数列的交汇问题的主要类型 （1）求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望E(X,)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式; （2）求和:主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和; （3）利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限. 二、概率统计与函数的交汇问题 该类问题综合性较强，一是借助二次函数，分段函数的性质，利用单调性求均值和方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定 最优解.但问题的本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解. 子题变式 1．（难度★）（2023·江苏南通·模拟预测）将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，将一个骰子连续抛掷三次，每次都有种情况，则共有种情况， 它落地时向上的点数能组成等差数列，分两种情况讨论：①若落地时向上的点数若不 根据等差数列的公差是否为零进行讨论，做到不重不漏. 同，则为或或或或或，共有种可能，每种可能的点数顺序可以颠倒，即有种情况，共有种情况；②若落地时向上的点数全相同，有种情况，共有种情况，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为，故选A. 古典概型概率公式（为样本空间基本事件总数，为所求事件中基本事件数） 2．（难度★）（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）下列命题中正确是（    ） A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量X~，若，则 C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则 D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，中位数就是第50百分位数，选项A正确； 对选项B，，则，故B错误； 对选项C，，函数为偶函数， 则， 根据偶函数定义，故定义区间也是关于y轴对称 区间与关于对称， 正态分布的对称性 故，选项C正确； 对选项D，分层抽样的平均数， 按分成抽样样本方差的计算公式，选项D正确.故选ACD. 3.（创新题）（难度★★）（2023·浙江·统考一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数． （1）证明：； （2）若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性． 【解析】（1）由题意可得满足二项分布， ，当且仅当时取等号； 因为 （2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性）， （混管中恰有i例阳性）=，， 令，， 则， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增，所以， 且，， 所以当，即，两边取自然对数可得， 所以当，时， 所以， 则． 故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性. 4.（挑战题）（难度★★）（2022·四川宜宾·统考模拟预测）现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误． (1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望； (2)设第次传球后，甲接到球的概率为， （i）试证明数列为等比数列； （ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数． （2）（i）求得，根据时，第次传给甲