考点7.1 概率 题型6 正态分布 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点7.1 概率 题型6 正态分布 母题模型 解读：做出分段函数的图象 推理：由不等式得， （2023·江西南昌·南昌十中校考一模）已知函数在R 上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（    ） 联想：函数单调性得 [附：若，则， ．] 推理： 由正态分布得 A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413 拆题： 随机变量 在R 上单调递增 . 大招快解：结合正态曲线，根据对称性可得 . 方法总结：（1）正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，. 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为、标准差为的正态分布通常记作. （2）3σ原则 如果X～N(μ，σ2)，那么P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝0.5， P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827, P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 子题变式 1．（创新题）（难度★★）（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（    ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A．23 B．29 C．36 D．43 【答案】B 【解析】由题意知：～则有， 设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40 ∴有原始分，而， 因为Y～时，故正态分布的对称轴为y轴 ∴有，即，故选B. 2．（难度★★）（多选题）（2023·福建厦门·统考二模）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（    ） A．P(X＞32)＞P(Y＞32) B．P(X≤36)＝P(Y≤36) C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车 D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车 【答案】BCD 【解析】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误； 根据正态分布的对称性 B., ，所以，故B正确； C. =，所以，故C正确； D. ，，所以 根据正态分布3σ原则 ，故D正确.故选BCD. 3.（挑战题）（难度★★★）（2023·云南丽江·统考一模）某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示） 附参考数据：；；． 【答案】 【解析】由题意可知，，事件为，，，所以， 利用正态分布3σ原则，将所求概率转化是解题关键 ， ， 由条件概率公式得，故答案为. 4.（难度★★）（2023·山西大同·校联考模拟预测）某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则) 【答案】##0.5 【解析】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，由可得，， 所以，解得：，故σ至多为． 根据集合的包含关系列出不等式组，解不等式 5. （挑战题）（难度★★★）（2023·重庆·统考二模）某网络在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动． 已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为分，现要根据得分给共名参加者中得分前名发放奖励， ①假设该闯关活动平均分数为分，分以上共有人，已知甲的得分为分，问甲能否获得奖励，请说明理由； ②丙得知他的分数为分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为分，分以上共有人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪． 附：若随机变量，则；；． 【解析】设此次闯关活动的分数记为． ①由题意可知， 因为，且， 所以，则； 而，且， 所以前名参赛者的