考点7.1 概率 题型5 离散型随机变量的均值与方差 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点7.1 概率 题型5 离散型随机变量的均值与方差 母题模型 解读：2个次品，10个正品 联想：一共抽取3个不同零件 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每 次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品 和正品的个数．联想：X＋Y=3 是一个定值 推理：每一次抽取的产品基数的变化 （1）求X的分布列、期望及方差； （2）求Y的分布列、期望及方差． 拆题： 利用期望和方差公式 E(Y)＝，D(Y)＝. P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝ 分别求X取值 的相应概率 利用期望和方差公式 E(X)＝，D(X)＝＝ 列出X分布列 写出X的可能 取值为0,1,2 大招快解：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝. 列出Y 分布列 写出Y的可 能取值1,2,3 【解析】（1）X的可能取值为0,1,2. 若X＝0，表示没有取出次品， 其概率为P(X＝0)＝＝， 同理，有P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝， D(X)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝. （2）Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3. 方法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝， ∴Y的分布列为 Y 1 2 3 P E(Y)＝1×＋2×＋3×＝， D(Y)＝2×＋2×＋2×＝. 方法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝. 方法总结：（一）求离散型随机变量ξ的数学期望和方差的步骤 （1）根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值． （2）求出ξ的每个值的概率． （3）写出ξ的分布列． （4）利用定义求数学期望E（X） n和方差D（X）： 其中（E（X）＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn， D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝（xi－E（X））2pi．） （二）常见的三种分布的均值 1．设p为一次试验中成功的概率，则 （1）两点分布E（X）＝p；D(X)＝p(1－p). （2）二项分布E（X）＝np；E（X）＝np(1－p). 2．超几何分布E（X）＝，其中X～H（n，M，N）． 子题变式 1．（难度★）（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【解析】，， ，∴先增后减，因此选D. 根据方差计算所得二次函数，开口向下判断单调性. 2.（难度★★）（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下： x 0 1 2 P a b c 若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得，所以①． 分布列中所有随机变量对应的概率和为1 因为，所以②． 由，得，代入①②解得：，． 所以．故选C. 3.（挑战题）（难度★★★）（2023·山东潍坊·统考一模）乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________. ②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________. 附：当时，，. 【答案】     【解析】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为，概率为. ②假设比赛局数为随机变量，由已知，需比赛局数为偶数，则可取.则，当时，双方前局战为平局，且任意前（，且）局双方均战为平局，则，显然，满足该式.设，则有，所以，是以为首项，为公比的等比数列. 设，则.设的前项和为，则 等比数列的概念 因为 成等差数列，成等比数列，所以用错位相减法求和 ， ， 作差可得， ， 整理可得，. 由题意可得，，. 则. 4.（挑战题）（难度★★）（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.