考点7.1 概率 题型4 二项分布讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点7.1 概率 题型4 二项分布 母题模型 推理：潜伏期超过6天的频率恒定= 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或对机体发生作用 起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究某传染病的团队统计了某地区名患者中有400名患者潜伏期超过天，潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能（即概率最大）是多 少？解读：独立重复实验20次 联想：潜伏期超过6天的人 数为X，X～B(20，) 拆题： 潜伏期超过天发 生的概率为= 潜伏期超过天的人数 为，则 大招快解（1）利用函数得单调性解得，故当 时，. 大招快解(2)X～B(20，)，所以，故概率最大为. 解不等式得 【解析】由题可得该地区名患者潜伏期超过天发生的概率为， 设调查的名患者中潜伏期超过天的人数为，则， ，、、、、， 由，即， 化简得，解得，所以， 即这名患者中潜伏期超过天的人数最有可能是． 大招快解（1）利用函数得单调性解得，即，故当时，. 大招快解（2）X～B(20，)，所以，故概率最大为. 方法总结： 一、二项分布的概率公式及期望方差 随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)， （1）P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n， （2）若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np；则D(X)＝np(1－p) 二、若X～B(n，p)，则最大值情形： （1）当为整数，或取得最大； （2）当不为整数，取得最大； 这里[ ]为取整符号，如[4.2]=4. 子题变式 1．（难度★）若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　) A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．5 【答案】A　 【解析】依题意P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.所以P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．故选A. 大招快解：，由当为整数，或取得最大；故k的值为1或2 . 2.（难度★★）（2022·山西吕梁·统考二模）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 【答案】 【解析】至少射击4次合格通过的概率为， 函数中自变量得次数超过2，借助导数研究函数得单调性，进一步求最值点. 所以，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，当时得最大值，故． 3. （创新题）（难度★★）（2022·湖南长沙·长郡中学模拟预测）已知随机变量，若最大，则______． 【答案】24 【解析】由题意知：，要使最大，有，化简得，解得，故 ，又，故. 大招快解：故 利用公式 4. （挑战题）（难度★★）受互联网技术发展的影响，某品牌电器实体专营店增加网络销售模式该店负责人计划在网络平台销售甲、乙两种型号的电器各a台，其单台成本价和销售价（其中销售价分原价、8折价、6折价三种）列表如下： 型号 成本价/元 原价/元 8折价/元 6折价/元 甲 2000 4000 3200 2400 乙 3200 6000 4800 3600 其中0.3a台甲型号电器以原价销售给非会员顾客，0.5a台甲型号电器以8折价销售给会员顾客，0.2a台乙型号电器以原价销售给非会员顾客，0.4a台乙型号电器以8折价销售给会员顾客，这两种型号电器的剩余量将在节假日均以6折价销售给顾客，假设这2a台电器能全部销售完. （1）请通过计算比较单台甲、乙型号电器利润的平均值的大小； （2）因店内资金周转困难，该专营店针对甲、乙型号电器举办一天促销活动，所有甲、乙型号电器均以8折价在网络平台销售，每位顾客限购一台，已知促销当天售出甲、乙型号电器共5台，设促销当天售出甲型号电器X台，每位顾客购买甲型号电器的概率为p. ①当时，求X的分布列； ②若促销活动当天获得的总利润为Y，且Y的数学期望至少为7200元，求p的最大值. 【解析】（1）设单台甲、乙型号电器利润的平均值分别为，，则（元）， （元）. 因为，所以单台甲型号电器利润的平均值小于单台乙型号电器利润的平均值. （2）①由题意可知，，且，1，2，3，4，5， 则，， 二项分布概率公式 ，， ，. 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4