考点7.1 概率 题型3 相互独立事件同时发生的概率 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点7.1 概率 题型3 相互独立事件同时发生的概率 母题模型 解读：明白比赛规则 （2022吉林·高三东北师大防护中小考开学考试）某项选拔共 有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下 一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、 三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互 不影响．求该选手被淘汰的概率． 推理：这是独立事件同时发生 解读：明确这是第几个问题 的答对的概率 大招快解：求对立事件的概率，该选手被通过考核的概率P(A1A2A3) ＝ ××，故淘汰的概率为1－P(A1A2A3)＝.“正难则反”求概率更简单. 拆题： 第1题答错 设出事件P(A1)＝， P(A2)＝，P(A3)＝. P =P(1)＋P(A12)＋P(A1A23) ＝＋×＋××＝. 第1题答对 第2题答错 将事件准 确分类 前两题对 第3题答错 【解析】记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为 ，则 ,;该选手被淘汰的概率为 . 大招快解：该选手被淘汰的概率为. 方法总结：用相互独立事件的乘法公式解题的步骤 （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式P(AB)＝P(A)·P(B)计算概率. 子题变式 1．（难度★）（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件，所以，，，所以，， 对立事件的概率公式 又因为，故选B 2. （创新题）（难度★★）（2023·浙江·校联考三模）班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有的可能答对问题，的可能答对问题，的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（    ） A．问题 B．问题 C．问题和都可以 D．问题 【答案】D 【解析】①若先回答问题，则答题顺序可能为和， 当答题顺序为且连对两题时，； 当答题顺序为且连对两题时，； 先回答问题，连对两题的概率为； 事件和是互斥事件，故选择概率做加法. ②若先回答问题，则答题顺序可能为和， 当答题顺序为且连对两题时，； 当答题顺序为且连对两题时，； 先回答问题，连对两题的概率为； ③若先回答问题，则答题顺序可能为和， 当答题顺序为且连对两题时，； 当答题顺序为且连对两题时，； 先回答问题，连对两题的概率为； ，要使最大，应先回答问题.故选D. 3. （难度★）（2023·陕西西安·统考一模）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ） A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大 C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等 【答案】C 【解析】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， （1）甲获得冠军有两种情况： ①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为，②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，因此，甲最终获得冠军的概 这是相互独立事件同时发生，故选择独立事件同时发生的概率公式运算 率为； （2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为； （3）丙获得冠军，概率为， 由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，故选C． 4.（创新题）（难度★★）（2023·湖南永州·统考二模）三个元件独立正常工作的概率分别是，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________. 【答案】 【解析】若接入，分别接入，则该电路正常工作的概率为；若接入，分别接入，则该电路正常工作的概率为 该电路正常工作是指：“能正常工作，至少有一个能正常工作”对于“至少有一