考点7.1 概率 题型1 古典概型与超几何分布讲义-2024届高三数学二轮专题复习

专题7 概率统计 考点7.1 概率 题型1 古典概型与超几何分布 母题模型 推理：乘法原理的使用 推理：等概率事件，基本事件数有限,故为古典概型. （2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）将两个白球和 两个黑球随机放入甲、乙两个盒子，每个盒子不空，则甲盒中 恰有个球的概率是（    ）联想：“甲有3个，乙有2个”这是分组问题 A． B． C． D． 大招快解：关于基本事件数，可以先将四个小球放进两个盒子，根据乘法原理共有24=16种，再减去四个小球都放进一个盒子的2种情况，共有16-2=14个基本事件. 拆题： 按照甲里面1个，2个，3个列举基本事件共14种 将两个白球，两个黑球为 3,4编号 所求概率为 甲里有3个有4种情况 方法总结：一、古典概型的概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 二、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．记作X～H(n，M，N)　. 特别地，如果X～H(n，M，N)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于r的自然数，此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … r P … … 子题变式 1．（难度★）（2023·陕西安康·统考二模）某校动漫社团成员共6人，其中社长2人，现需要选派3人去参加动漫大赛，则至少有1名社长人选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记社长为A，，其他成员为，，，，所以从6人中任选3人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，20种，其中至少含一个社长的有16种，所以概率为，故选D． 大招快解：用对立事件求概率：没有社长人选的共有种方法，6人中学派3人有种，故所求概率为. 2．（难度★★）已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ） A．10% B．20% C．30% D．40% 【答案】B　 【解析】设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝，所以x＝2或 超几何分布的概率公式 8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，所以次品率为＝20%.故选B. 3．（创新题）（难度★★）（2023·四川巴中·统考一模）随机郑两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和除以4，余数分别为，所对应的概率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，两枚骰子所得点数和除以4的余数情况如下： 除以4的余数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0 1 2 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 1 4 1 2 3 0 1 2 5 2 3 0 1 2 3 6 3 0 1 2 3 0 由上表知：共36种情况，其中余数为分别有9种、8种、9种、10种，所以 用表格列举或者树型图会使解题更直观 .故选A. 4．（难度★★）（2022·浙江·模拟预测）一个袋中装有大小质地完全相同的个红球和个白球，从中任取3个球.记取出的白球个数为，若，则___________，___________. 【答案】     2     2 【解析】根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为：，解得；所以袋中有2个红球，4个白球，则取出的三个球中白球的个数的可能取值为：1,2,3，所以，，所以. 超几何分布的概率公式和离散型随机变量的期望公式 5．（挑战题）（难度★★★）（2023·山西大同·校联考模拟预测）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 【解析】当时，， 当时，， 记，则 ． 由， 当且仅当， 则可知当时，；当时，， 函数的单调性：函数在是增函数；在是减函数 故时，最大，所以N的估计值为6666． 学科网