考点6.3 空间中的角度与距离 题型4 求空间距离讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.3 空间中的角度与距离 题型4 求空间距离 母题模型 解读：侧面展开图的半径是圆锥的母线 推理：圆锥底面圆的周长 （2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半 径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点. 当体积最大时，求S到平面PCD的距离. 解读：利用什么方法求点到面的距离 联想：AB,CD怎样的位置体积最大 大招快解：由P是SB中点，则点S到平面PCD的距离等于B到平面PCD的距离.由B向OP作垂线，垂足为M，据面面垂直的性质，则BM为点B到平面的距离.因为是边长为1的等边三角形，故. 拆题： 体积最大 平面PCD的法向量为 以O为原点建立空间直角坐标系 侧面展开图半径R=2 ， 底面圆半径为r S到平面PCD的距离 【解析】记底面圆半径为r，侧面展开图半径为R，则R=2， 又，所以， ， 当体积最大时，， 以O为原点，OD，OB，OS为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， ， ， ， 设平面PCD的法向量为 ， 因为 ，令，，， 所以， ， 所以点S到平面PCD的距离 方法总结：空间距离的求法 一、直接法 根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解。 二、转化法 如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线面距和面面距转化为点面距. 三、体积法 对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的。 四、向量法 在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。如：利用法向量求点到平面的距离，设是平面的一个法向量，AB是平面的一条斜线，其中，则点B到平面的距离为. 子题变式 1．（创新题）（难度★★）（2023·河南·统考模拟预测）如图，直线平面，垂足为，正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离最大时，该正四面体在平面上的射影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线平面，垂足为，所以点是以为直径的球面上的点，所以 直径对的圆周角为90° 到的距离为四面体上以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为到球心的距离加半径，即与的公垂线加半径，如图所示： 取的中点，的中点，连接，，，因为，所以， ，,所以到的最大距离为，此时，,当取得最大距离时，垂直平面，且平行平面，所以投影是以为底，以为高的等腰三角形,其面积 因为, ．故选D． 2．（难度★★）（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝10，BC＝6，平面ABC，E为AD的中点，且____________，则点A到平面BCE的距离为（     ） ①异面直线BE与AC所成角为60°； ②三棱锥D−BEC的体积为 注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选①:AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，为直角三角形，AC=8，如图建立空间坐标系，,设， 则， ,，,且,E为AD的中点，， ,; 锥体的体积公式： . 选②：AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，为直角三角形，AC=8， 又平面ABC，,设CD=h,E为AD的中点，且三棱锥D−BEC的体积为，,,,, 因为 中，,,面ACD,面ACD,,,; .故选C. 3．（难度★）（2023·福建·统考一模）已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________． 【答案】 【解析】， , ，，设点A到直线的距离为，则 . 大招快解：，. 4．（难度★★）（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______． 【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故，故，而平面，平面，故平面， 故直线FC到平面的距离为即为到平面的距离. 因为线面平行，所以直线上任意点到平面的距离都相等 设平面的法向量为， 又，故，取，则， 而，故到平面的距离为. 5．（挑战题）（难度★★★）（2023·广东惠州·统考模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为