考点6.3 空间中的角度与距离 题型3 二面角的求法 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.3 空间中的角度与距离 题型3 二面角的求法 母题模型 解读：二面角的平面角的确定 联想：正三棱锥的性质 （2023·福建漳州·统考三模）已知正三棱锥的侧面与底面所 成的二面角为，侧棱，则该正三棱锥的外接球的表 面积为（    ） 推理：关键是外接球的 球心位置和半径 解读：球的表面积 公式 A． B． C． D． 拆题： ， 是侧面与底面所成的角 中点，连接 中，根据余弦定理， ， ， 解方程 外接球半径为 外接球的半径 或 大招快解： 平面 是的射影 设底面中心为O 设是侧面与底面所成的角 或 外接球半径为 方法总结：一、求平面的二面角方法 1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形，利用余弦定理求解. 2、三垂线法 这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图1，设锐二面角，过面A 图1 P B l 内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法. 3、射影面积法求二面角 设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cos，D B1 图1 A O A1 C B D1 C1 O1 4、平面方程（截距法）与法向量： 在空间直角坐标系中，平面α的方程是：Ax＋By＋Cz＋D＝0 (ABC≠0) 则 是平面α的一个法向量，当平面α的横、纵、竖截距分别是：a，b，c (abc≠0)时，有. 5、三叉法口算法向量 设，则平面OAB 的法向量为 子题变式 1．（难度★）（2023·河北·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，，四棱锥的体积为，E为PC的中点．平面与平面所成二面角的正切值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】分别取的中点为，连接，设，则 .因为是等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，底面，因为四棱锥 面面垂直的性质定理：面面垂直，则线面垂直 的体积为，所以，解得.因为，是PF在平面ABCD内的射影，，所以为平面与平面所成二面角的平面 根据三垂线定理：垂直射影，垂直斜线. 角，.故选B. 2．（创新题）（难度★★）（2023·浙江·校联考三模）在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面经过点B、D且截正方体所得截面面积最大时，平面与面重合， 证明：设平面与面所成的二面角为，二面角为，当时，记平面截正方体所得截面为面，， 则，令， 因为，所以，当时，显然平面截正方体所得截面面积最大时，截面为面，当时，平面截正方体所得截面为，所以平面截正方体所得截面面积最大时截面为面，同理平面过时，截正方体所得截面面积最大时截面为面， 连接，面与面所成锐二面角为， 由面面，故的所成角大小为二面角大小， 类似两个平面的法向量的思想，法向量的夹角（取锐角） 因为，所以面与面所成锐二面角大小为.故选C． 3．（难度★★）（多选题）（2023·湖南岳阳·统考一模）正方体的棱长为1，点P在线段BC上运动，则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成的角为60° B．异面直线与所成角的取值范围是 C．二面角的正切值为 D．直线与平面所成的角为45° 【答案】BC 【解析】如图，在正方体中建立空间直角坐标系， 则，设， 对A，由，，即异面直线与所成的角为90°，故A错误； 对B，，则， 当时，，， 当时，，因为的对称轴为，所以当 换元法求值域，一点注意引入的参量的取值范围 时，，即，由，知，综上，，故B正确； 对C，因为，故平面的法向量为，，故的法向量为，，所以.故C正确. 大招快解：取中点，连接，则，所以为二面角的平面角，在中，. 对D，在正方体中，,平面， 所以平面，即平面的一个法向量为, 又，所以，故D错误. 故选：BC 4．（难度★★）如图，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，则△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . 【答案】 【解析】分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，则△A1B1C1≌△