考点6.3 空间中的角度与距离 题型2 线面角的求法讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.3 空间中的角度与距离 题型2 线面角的求法 母题模型 解读：底面是一个直角梯形 联想：PA垂直平面内所有的线 （2023春·天津红桥·高三统考期末）如图，在四棱锥 中，平面,联想：三角形 的中线或中位线 是的中点.若直线与平面所成的角和与平 面所成的角相等，求线段的长度. 推理：线面角的传统方法以及空间向量的求法 拆题： 分别是平面，平面的法向量. 构建空间直 角坐标系 平面 平面 解方程所以 大招快解：过B做BM 垂直AE 是直线与平面所成的角 BM⊥平面PAE BM⊥PA 是直线与平面所成的角 平面 E到直线AB的距离为d=4 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系，设，. 则各点坐标为： 所以. 因为， 所以，而是平面内的两条相交直线， 所以平面； ∴分别是平面，平面的法向量，而与 平面所成的角和与平面所成的角相等，所以 即 由（1）知，，由， 故.，解得. 所以. 方法总结：一、求平面的法向量的方法 1、定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量，在平面内任找两个不共线的向量。由且，解此方程组即可得到。 方法二：若平面与3个坐标轴的交点为,则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量为: . 方法三(外积法): 设为空间中两个不平行的非零向量，其外积为一长度等于，（为两者交角，且），且与皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为的方向,。 （注：1、二阶行列式: ；2、适合右手定则。） 二、求线面角方法 1.用传统方法求线面角： （1）直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。 （2）利用公式 其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 2.平面法向量的应用求线面角 如图2-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，，则AB与平面所成的角的正弦值为：. 子题变式 1．（难度★）在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量，所以， 利用传统方法证明可得；或直接利用 求出平面的法向量. 故选A. 2．（难度★★）（2023·河北·高三学业考试）正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接、，因为三棱柱是正三棱柱，所以平 面，因为平面，则平面平面，如图，取的中点，连接、， 因为是等边三角形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以即为直线与平面所成的角，在直角中， ， 是直线在平面上的射影 ， 所以，所以，故选B. 3．（难度★★）（创新题）（2023·湖南·模拟预测）已知正方体，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若则点的轨迹所围成的图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，连接交平面于O，连接EO， 平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，故，同理可得，，平面，故平面，所以∠AEO是AE与平面所成的角，，所以，在四面体中， 平面，中， ，，所以四面体为正三棱锥，O为的重心，如下图所示， 所以，，因为，所以，又E在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为OE的圆，所以E在平面内的轨迹围成的图形面积．故选D. 圆的面积公式 4．（挑战题）（难度★★）如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B为底面圆周上一点，且，M为上一动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点作于点，连，∵平面，平面 ，∴，又，，平面，∴平面，又∵平面，∴，故为直线与平面所成的角，在中，越小，越大，越大，当时，最小，此时最大， ,根据sinx和tanx在都是增函数，所以越小，越大，越大 ∵为等腰直角三角形，又，在中，,在中，，则,在等腰直角三角形中，，在中，,,则， 故选C. 5．（难度★★★）（2023·福