考点6.3 空间中的角度与距离 题型1 异面直线所成角的求法讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.3 空间中的角度与距离 题型1 异面直线所成角的求法 母题模型解读：正四面体的各面是正三角形 联想：有中点时想三角形中位线 （2022秋·江苏扬州·高三统考开学考试）正四面体ABCD中，易错：余弦 值为非负值 E，F分别是AB和CD的中点，则异面直线CE和AF所成角易错：余弦 值为非负值 的余弦值为（    ） A． B． 推理：转成共面使之相交 C． D． 大招快解：设棱长为2，,,,根据空间余弦定理，. 拆题： 取的中点 ，连接 得出结论C. 在中，由余弦定理 为异面有线CE和AF所成角或其补角 为的中点 方法总结：求空间两异面直线所成角的简单方法 1.在传统方法中：关键在于利用平行寻找，转化为相交直线所成的角，将角都放到三角形中，利用余弦定理求解. 2.空间余弦定理 余弦定理应用的模型是三角形， 空间余弦定理应用的模型是三棱锥， 空间余弦定理的结构特征和余弦定理的结构特征有类似之处. 如图所示：求AC和BD所成的角余弦值为： 2.向量法：因为向量具有代数与几何的特征，因此形成了向量法即基底法和坐标法. （1）基底法：选择一组合适的基底表示向量，在利用数量积的夹角公式求解. （2）坐标法：当基底两两互相垂直时，建立空间直角坐标系，再利用数量积的夹角公式求解. 注意：异面直线所成角的取值范围为，若求出的余弦值为负值，就取其补角即可. 子题变式 1．（难度★）（2023·河南郑州·统考一模）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，，，因为，所以或其补角为直线 保证所求的角在范围内 与所成的角，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，设正方体的棱长为2，则，， 在中，，所以，故选. 方法二：设正方体的棱长为2，则，，根据余弦定理可得：，故直线与所成的角为 . 大招快解：直接利用求异面直线所成角公式，空间余弦定理：，故选D. 2．（难度★★）（2023·海南·海南华侨中学校考一模）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，所以，， ，又因为异面直线所成的角的范围为，所以异 向量夹角公式 面直线与所成角的余弦值为.故选C. 3．（难度★★）（创新题）（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体.已知该正方体中，点分别是棱的中点，过三点的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在平面中，连接与交于，则， 因为点E为线段AA1的中点 在平面中，连接与交于，则，则为平面与平面 因为点F为线段CC1的中点 的交线，且，而在等边中与所成的角为，故与直线所成角.故选. 4．（挑战题）（难度★★）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体中，点为底面的中心，点在侧面 的边界及其内部移动，若，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 ，，， 设，因为， 因为点在侧面 的边界及其内部移动，设参数注意范围. 所以，则 在侧面内取一点，使得，则 易知三角形为直角三角形，则 设，对称轴为，则 因为，函数的最小值在对称轴取得 即，故选C. 5．（多选题）（难度★★）（2023·福建福州·统考二模）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，P为线段EF上的动点，则（    ） A．线段DP长度的最小值为2 B．三棱锥D-A1AP的体积为定值 C．平面AEF截正方体所得截面为梯形 D．直线DP与AA1所成角的大小可能为 【答案】BC 【分析】对于