考点6.2 空间中的位置关系 题型3 立体几何中的动态问题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

考点6.2 空间中的位置关系 题型3 立体几何中的动态问题 母题模型 联想：等腰三角形得性质 推理：线线垂直，则线面垂直 （2023·陕西榆林·统考一模）在直三棱柱中， ，且分别为和的中点，为线段 （包括端点）上一动点，为侧面上一动点，则 的最小值为（    ） 推理：F为点P在侧面的投影点 联想：需将解题策略--两个平面 展开成一个平面再求解 A． B． C． D． 拆题：（1） 取的中点. 侧面 在侧面的投影为 侧面 平面与平面展开到同一平面 ， 作于点，交于点,此时达到最小值 方法总结：立体几何中的动态问题 1．立体几何中的动态问题主要包括： （1）空间动点轨迹的判断，一般是根据线、面平行，线、面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹(还可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程)． （2）求轨迹的长度及动角的范围等． 2．求范围或最值问题的解题策略：求距离的和的问题可以利用平面展开，或者找点关于平面的对称点，将距离和转化为两点间线段最短进行求解；求最值问题，也可以利用函数的的思想，求函数的最值等方法. 子题变式 1．（难度★★）（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知正方体的棱长为3，点满足．若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，在棱上分别取点，使得，，连接 ，因为，，所以，，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，，，因为，，所以，≌，≌，所以，所以，四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以，平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面平面, 注意面面平行判定定理，线面平行，则面面平行 所以，在正方形内有一动点满足平面时，点的轨迹为线段， 点既在正方形内，也在平面内，故在两个平面的交线上 因为,所以，动点的轨迹长为,故选C. 2．（难度★★）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是（ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 【答案】B 【解析】直线与所成角的最小值是直线与面所成角， 根据最小角定理：斜线和射影所成的角是斜线和平面内所成角中最小的 即原问题转化为：直线与面所成角为，求点的轨迹． 延长交面于点，因为面， 所以就是直线与面所成角， ，， 则在面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆的一部分， 根据圆的定义 的轨迹是以为轴的圆锥面的一部分，点是内的动点（不包括边界），其在内的轨迹，等价于平面截圆锥面所得的曲线，取的中点，连接，设正方体的棱长为1，，，，即圆锥的轴与截面所成的角大于轴与母线的夹角，小于直角， 判断截面与圆锥的位置，进一步得出轨迹为椭圆 平面截圆锥面所得的曲线为椭圆的一部分.故选B. 3．（难度★★★）（多选题）（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，点M，N，P分别是线段，线段，线段上的动点，且.则下列说法正确的有（    ） A． B．直线MN与AP所成的最大角为90° C．三棱锥的体积为定值 D．当四棱锥体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为 【答案】ABC 【解析】对于A，因为正方体是棱长为2的正方体，连接，因为点 M、N分别是线段、线段的动点，且，所以，,所以,又,所以，因此A正确；对于B，又，因此，因此直线MN与AP所成的角就是直线与AP所成的角， 当P为中点时，直线与AP所成的角最大为90°，因此B正确； 异面直线所成的最大的角即为90° 对于C，，因此C正确； 因为，故点P到平面的距离和为定值，故体积为定值 对于D，当点P为点时，四棱锥体积最大，该四棱锥的外接球即正方体 四棱锥的底固定，当P点在A1时，点P到平面的距离最大， 的外接球，直径为 ，故其表面积为，因此D不正确.故选ABC. 4．（创新题）（难度★★★）（2023·内蒙古·校联考模拟预测）在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则的最小值为______. 【答案】 【解析】如下图所示：设与平面交于点，得，平面， 由平面，所以，又，面，所以平面，面，所以，同理可证，由 大招快解：直接利用三垂线定理：垂直射影，垂直斜线 ，面，所以平面.因为，所以，又因为,所以.延长至，则，故点是点关于平面的对称点.那么.所以.如 因为平面，. 下图，以为原点，分别为轴、轴、轴建