考点6.2 空间中的位置关系 题型1 平行关系的判定与应用 讲义-2024届高三数学二轮复习

考点6.2 空间中的位置关系 题型1 平行关系的判定与应用 母题模型 联想：正三角形的边角关系解读：注意平行四边形的性质 （2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）如图所示，在四棱锥中， 底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为 的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. 推理：由线线平行 线面平行 （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 联想：线面平行的性质定理 线线平行 推理：利用比例关系求位置 拆题：（1） 取中点为E， 连接， 四边形 为平行四边形 大招快解： 大招快解：利用面面平行，证明线线平行 AP平面PAB MQ平面PAB 取AD中点Q， 连接MQ，NQ 平面PAB 同理平面PAB （2） 连接相交于,连接 三角形对应边相似比 【解析】（1）取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； 大招快解：取AD中点Q，连接MQ，NQ， AP平面PAB，MQ平面PAB，平面PAB， 同理平面PAB，，， 平面； （2）连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 方法总结：证明各种平行的方法 证明各种平行的关键是证明线线平行,为此在传统几何方法证明线线平行可以借助于三角形的中位线，平行四边形对边互相平行，由比例得出平行，进一步得出线面平行，或者面面平行。但在线面平行证明过程中，需要强调直线在平面外的条件。 若利用空间向量证明线线平行，可以借助于直线的方向向量互相平行得到线线互相平行； 利用平面的法向量与直线的方向向量垂直得出线面平行；利用两个平面的法向量互相平行得出两个平面互相平行。 子题变式 1．（难度★）已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】B 【解析】由于，即，由于，所以. 故选B. 若审题不清，没有注意直线在平面外，就不能得出直线与平面平行. 2．（难度★★）（2023·新疆·统考一模）如图，在长方体中，，则下列说法错误的是（    ） A． B．与异面 C．平面 D．平面平面 【答案】A 【解析】如下图所示，连接， 根据题意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A错误；易知与不平行，且不相交，由异面直线定义可知，与异面，即B正确；在长方体中，所以，即四边形为平行四边形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正确； 由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正确.故选A. 利用面面平行的判定定理 3．（难度★★）（2022·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）如图，正方体中，是的中点，则（       ） A．直线与直线相交，直线平面 B．直线与直线平行，直线//平面 C．直线与直线垂直，直线//平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，， ，，，，，，，所以，，，所以与不平行，故直线与 因为，故两向量不平行 直线不平行，即B错误；，所以，所以，设面的法向量为，即，令，则，，所以，所以，因为平面，所以平面，故C正确； 强调直线在平面外，否则得不出线面平行的结论 因为，，故与不垂直，故D错误；因为，，所以与不相交，故A错误；故选C. 4．（创新题）（难度★★★）（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动. 若面，则的长度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，, ∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点， ，, ，四边形为平行四边形， ，而在平面中，易证， ∵平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面，∴平面平面， ∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN， ∴点P的轨迹是线段EF， 动点P在正方形（包括边界）内又在平面内，故在两个平面的交线上. ，，∴，∴当P与O重合时，的长度取最