2024年湖南省长沙市中考二轮专题复习讲义（几何压轴题-圆-综合问题）

教师 科目 数学 备课时间 学生 年级 初三 上课时间 课题：几何压轴题-圆-综合 课型：复习 学生主要问题： 圆、相似的综合运用不熟 教学目标： 熟练掌握圆、相似的综合运用 教学重点与难点： 圆、相似的综合运用 教 学 内 容 例1.（23长沙中考）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记的面积分别为，若，求的值； （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 变式1-1.（23-2九下广益一模）如图，锐角△ABC，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO延长线交边AC于点D. （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠ABD的度数； （3）记△ABC、△ABD、△BCD的面积分别为、、，且. ①求的值；②求cos∠BAC. 变式1-2.（23-2九下师大附中期中）如图，已知AB、AC是半径为1的⊙O的两条弦，且，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC． （1）证明：； （2）连接BC，当△COD是直角三角形时，求BC的长； （3）①试探究的值是否为定值?如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由； ②记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为、、，若，求OD的长． 例2.（22长沙中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）当，∠DFE=2∠CDB时，则________；________；________．（直接将结果填写在相应的横线上） （3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由． ②当，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，n，p的式子表示． 变式2-1.（23-1九上明德华兴第三次）如图：若点A是半径为R的圆O的优弧上任意一点（不与B、C重合），且，点E是的内心，且内切圆半径为r，的延长线和圆O相交于点D，与交于点F，连接， （1）求的度数； （2）填空：①______；②______；③______； （3）求的值（用R、r表示） 变式2-2.（23-2九下开福区一模）如图1，AC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，的平分线DB交⊙O于点B，交AC于M，连接AB、CB． （1）证明： （2）填空：（直接将结果写在相应的横线上） ， ， ． （3）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值 （4）记，，试用含m，n的式子表示． 图1 图2 备用图 变式2-3.（23-2九下师梅第一次）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E． （1）如图1，求证：AE·CE＝BE·DE （2）如图2，F为线段AC上一点，∠ADF＝∠BDC ， ①求证：△DFC∽△DAB； ②求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD （3）如图3，当DC＝BC，AB＝，AD＝，CD＝时，求（用表示）． 例3.（21长沙中考）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在弧AB上，四边形MNPQ为正方形，点C在弧QP上运动（点C不与点P，Q重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，谅解OQ. （1）求的值； （2）求的值； （3）令，，直径（，是常数），求关于的函数解析式，并指明自变量的取值范围. 变式3-1.（23-2九下岳麓区一模）如图，△ABC中，∠BAC为直角，点P为AC边上一动点（不与A，C重合），以PB为直径作⊙O，⊙O与BC交于点D，过点D作DE⊥AD交AB的延长线于点E．AD与PB交于点F． （1）求证：∠PBA=∠BDE； （2）如果∠PBD=2∠PBA，求证：BD=BF； （3）如果AB=6，AC=8， ①令AP=x，BD=y，求y关于x的函数关系式； ②若PB∥DE，求的值． 变式3-2.（23-2九下青一三模）如图1，是的直径，弦，垂足为点，连接． （1）如图1，若，求劣弧所对圆心角的度数； （2）在图1中，连接，若，求值； （3）①如图2，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的长； ②如图2，若，求关于x的函数关系式． 变式3-2.（22-2九下雅礼期中）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D为弧AB的中点，过点D作AB的平行线交