4.3.1 等比数列的概念（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 第2课时 人教A版（2019）选择性必修第二册 学习目标 1.掌握等比数列的相关性质，并能灵活运用. 2.运用等比数列解决一些实际问题. 3. 核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象 一、复习导入 等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示. 递推公式： ) 通项公式： = 等比中项： . 二、新课讲授 例4：用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为所少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ ：复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 元，第一年末 元； 第二年末 ²元； 以此类推，可得： ²， ， …… 各期的本利和构成等比数列. 这个等比数列首项为，公比为，可得通项公式为： = （1）“用10000元购买某个理财产品” =10000 “月利率0.400%” = 0.400% 12个月能获得的本利和 = ？ “12个月能获得的利息” =本利和-本金= - 解：（1）设这笔钱存个月后的本利和组成一个数列，则是等比数列， 首项=公比1+0.400%， 所以= ， 所以，12个月后的利息为- 491（元） （2）“季度利息” 存4个季度的本利和 = ？ “存4个季度结算的利息” - “按季结算的利息不少于按月结算的利息” - 解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列， 首项=公比为， 于是= ， 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元 解≥491， 得 ≥1.206%. 所以，当季度利率不小于1.206%时，按及结算的利息不少于按月结算利息. 9 对实际问题抽象、简化 确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子 梳理变量之间的关系 将复利问题转化为相应的等比数列模型 用数学方法解决 数学模型 （数学建模） 例5：已知数列的首项=3. （1）若数列为等差数列，公差2，证明数列为等比数列； （2）若数列为等比数列，公差，证明数列为等差数列； ： 1、判断等差数列： （1）定义法：为等差数列 （2）等差中项法：2为等差数列 （3）通项公式法：为等差数列. 注：若是证明，可用（1）（2），（3）不能用于证明. 2、证明等比数列： （1）定义法：为等比数列 （2）等比中项法：为等比数列 （3）通项公式法：为等比数列. 注：若是证明，可用（1）（2），（3）不能用于证明. 追问 已知如果数列为等差数列，那么数列是否一定为等比数列？如果数列是各项均为正数的等比数列，那么数列是否一定为等差数列？ 证明：设等差数列的首项为公差为，则 = 所以， 是以为首项， 为公比的等比数列 证明：设各项均为正数的等比数列的首项为公比为，则 所以，数列是以为首项，为公差的等差数列 等差数列{}中， ， 则有+= +. 各项均为正数的等比数列，是等差数列 ， = = = 证明：设等比数列的首项为公比为，则 = = 所以 因为 所以 通过该证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正. 三、课堂小结 1、方程思想：等比数列有关计算问题 2、建模思想：将实际问题转化为数学问题，并加以解决 3、转化思想： 则 四、作业布置 课本P34：练习 第3、5题 $$