11.2 反比例函数的图像和性质 预习讲义 -【寒假衔接】 2022-2023学年苏科版八年级数学下册

反比例函数的图像和性质 知识点1：形如y＝(k为常数，且k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中，常数k称为比例系数． 知识点2：反比例函数图象的画法 反比例函数图象的画法分三个步骤：(1)列表；(2)描点；(3)连线． 　画出反比例函数y＝与y＝－的图象． 解　列表： x … －8 －4 －2 －1 1 2 4 8 … y＝ … －1 －2 －4 －8 8 4 2 1 … y＝－ … 1 2 4 8 －8 －4 －2 －1 … 描点、连线，如图所示： 　 提醒:(1)列表时，自变量x的取值要注意：①在取值范围内取值(x不等于0)；②一定要有代表性(兼顾正、负数)；③大小要适度(描点时好操作)；④要尽量多取一些数值． (2)连线时，按照从左到右的顺序用光滑的曲线连接各点并延伸，注意曲线的两支是分开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不可能与坐标轴相交． 知识点3：反比例函数的图像和性质 反比例函数 y=（k≠0） k的符号 k＞0 k＜0 图像 性质1（对称性） （1） 反比例函数是中心对称图形，对称中心为原点 （2） 反比例函数是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x 性质2（增减性） 当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小（注意：在每个象限内一定要说，不说明就是错误的，可以换x＞0或x＜0也可以） 当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大 知识点4：一次函数和反比例函数图像的分布 （1）掌握一次函数k和b对图像的影响， （2）掌握反比例函数k的正负图像的分布， （3）假设一次函数图形是正确的，得到k和b的取值范围，去验证反比例函数的分布是否正确 知识点5：一次函数和反比例函数比较大小 （1）过一次函数和反比例函数的交点作y平行线，有几个交点就做几条平行线，这几条平行线和y轴把一次函数和反比例函数分成了几个部分 （2）观察每个部分中谁的图像在上面，上面的＞下面的，然后求出对应的x的取值范围 题型一：反比例函数的定义 1．下列函数表达式中，是的反比例函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可以变形为是的反比例函数，故选B． 2．下列函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A. ，是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，是反比例函数，比例系数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．下列关于与 的表达式中，反映是的反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.为正比例函数，不符合题意； B.整理为，为正比例函数，不符合题意； C.为一次函数，不符合题意； D.可整理为，是反比例函数，符合题意； 故选：D． 4．下列关系式中的y是x的反比例函数的个数（　　） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①，y是x的反比例函数，符合题意； ②，y是x的反比例函数，符合题意； ③，是一次函数，不符合题意； ④，整理为，y是x的反比例函数，符合题意； ⑤，y是x的反比例函数，符合题意； ⑥，y是的反比例函数，不符合题意； 综上：①②④⑤，y是x的反比例函数．共4个． 故选：C． 题型二：求反比例函数解析式 1．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的关系式为， 由于其图象经过点， 所以； 所以反比例函数的关系式为． 2．已知函数是反比例函数，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，且 ∴， 故答案为：． 3．已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得， 故选B． 4．已知点、点都在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点、点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知函数， (1)当m，n为何值时是一次函数？ (2)当m，n为何值时，为正比例函数？ (3)当m，n为何值时，为反比例函数？ 【答案】(1)且(2)(3) 【详解】（1）解：当函数是一次函数时，，且， 解得：且； （2）当函数是正比例函数时，， 解得：． （3）当函数是反比例函数时，， 解得：． 题型三：求反比例函数值 1．反比例函数 的图象经过点 ，则a＝ ． 【答案】3 【详解】解： 反比例函数 的图象经过点 点 满足反比例函数