第六讲：正方形的判定和性质 预习讲义 -【寒假衔接】2022-2023学年苏科版八年级数学下册

正方形的判定和性质 探索活动 1、思考：你能类比矩形、菱形的概念给正方形下个定义吗? 正方形的概念：____________并且____________ 的 _________ 是正方形。 2、探究：（1）比较平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 （2）探索正方形的性质 请大家思考正方形有哪些性质? 正方形是一个特殊的平行四边形，正方形形具有平行四边形的所有性质；正方形还是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质 正方形的性质： 从对称性看：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形 从边看：正方形的四边相等，对边平行 从角看：正方形4个角都是直角 从对角线看：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角 思考：正方形具有而一般矩形不具备的性质： 正方形具有而一般菱形不具备的性质： 探索正方形的判定方法： 问题：有一个角是直角的 是正方形；有一组邻边相等的 是正方形； 对角线相等的 是正方形；对角线垂直的 是正方形； 对角线 的四边形是正方形。 思路：（1）先说明这个平行四边形是 ，再说明这个矩形也是 ； （2）先说明这个平行四边形是 ，再说明这个菱形也是 。 归纳总结 例1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，试探索BG与DE的关系. 例2.在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗?为什么? 题型一：正方形的性质-求角度 1．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在正方形中，E为上一点，连接，交对角线于点F，连接，若，则的度数为（    ）    A．80° B．70° C．75° D．45° 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在正方形的外侧，作等边，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．如图，正方形ABCD中，E在BC延长线上，AE，BD交于点F，连接FC，若，那么的度数是 ． 【答案】58° 【详解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴∠DAF=∠DCF， 又∵AD∥BC，∠E=32°， ∴∠DAF=32°， ∴∠DCF=32°， ∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°． 故答案为：58°． 5．如图，在正方形中，是正方形内一点，且．求的度数． 【答案】 【详解】解：在正方形中，，， ， ， 在中，，则是等边三角形， ， ， 在中，，，则； ． 6．如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF. 【答案】105° 【详解】 作AO⊥FB的延长线,BQ⊥AC ∵BF∥AC, ∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45° ∴AO＝BQ＝AQ＝ AC ∵AE＝AC ∴AO＝ AE ∴∠AEO＝30° ∵BF∥AC ∴∠CAE∠AEO＝30° ∵BF∥AC ,CF∥AE ∴∠CFE∠CAE＝30° ∵BF∥AC ∴∠CBF∠BCA＝45° ∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105° 题型二：正方形的性质-求长度 1．正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：设正方形的边长为a， ∵正方形的一条对角线之长为8， ∴ ， ∴（负值已舍去）， 故选C． 2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的边长是 ． 【答案】. 【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°. ∵AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°. ∴△AMB≌△BCN（AAS）.∴BM=CN. ∵点A、C到直线L的距离分别是1和3，即AM=1，CN=3，∴BM=3. ∴. 3．如