第五讲：菱形的判定和性质-【寒假衔接】2022-2023学年苏科版八年级数学下册预习讲义

菱形的判定和性质 情景导入 1.（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？ 2.（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 【强调】　菱形（1）是平行四边形 （2）一组邻边相等 请同学们列举一些日常生活中所见到过的菱形的例子 折纸探究 把一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下、打开，你能发现它是一个什么样的图形吗？ 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．即 对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心 边：菱形的对边平行且相等 角：菱形的对角相等 对角线：菱形的对角线互相平分 那么菱形作为作为特殊的平行四边形具有哪些特殊的性质呢？ （1）菱形的 都相等 （2）菱形的对角线 . 例1.如图，菱形ABCD中，AE和AF分别是BC和DC边上的高，请问AE与AF有什么样的关系？为什么？ 例2.在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为、，AC、BD相交于点O. （1）用含、的代数式表示菱形ABCD的面积S； （2）若=3cm，=4cm，求菱形ABCD的面积和周长. 知识点：菱形的面积= = . 菱形的判定 提出问题 1.根据菱形的定义，需要具备什么条件可以判定一个四边形是菱形？ 2.还可以用什么方法判定一个四边形是菱形？ 成果展示 1.问题1：拿出十根小木条（其中只有四根一样长），让学生从中选取四根，能否搭成一个菱形？为什么？ 2.问题2：拿出事先准备好的平行四边形（对角线是木条，四边是橡皮筋），转动木条成直角，观察得到的四边形的形状是菱形吗？为什么？ 3.问题3：你认为， 的四边形是菱形 的平行四边形是菱形 （注意：一个的基础条件是四边形，一个的基础条件是平行四边形） 归纳：四边形、平行四边形、菱形之间的关系： 例1、 证明：四条边都相等的四边形是菱形 例2、 证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 题型一：菱形的性质-求角度 1．如图，在菱形中，，点为对角线上一点，为边上一点，连接、、，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=40°， ∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，， ∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°， 又∵BE=BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BEA=∠BEC=56°， ∴∠BAE=104°， ∴∠DAE=36°， ∵AE=FE， ∴∠EFA=∠EAF=36°， ∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°， 故选A． 2．如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为 度． 【答案】62 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：62． 3．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　） A．108° B．72° C．90° D．100° 【答案】B 【详解】解：连接PA，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴， ∴PA＝PC， ∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P， ∴PA＝PD， ∴PD＝PC， ∴∠PCD＝∠CDP＝36°， ∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°； 故选：B． 4．如图，菱形的对角线、相交于点，于点，连接，若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，点O为的中点， ∴， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在菱形中，交于点O，于点E，连接，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二：菱形的性质-求长度 1．菱形相邻两角的比为，那么菱形的对角线长与边长的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为菱形相邻的两角互补， 所以得到较小的角的度数是，较大的角是． 设菱形的边长为1，则角所对的对角线长为1，角