数列求和专题 导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

求数列求和专题的导学案 平果市铝城中学 林大泽 一．导（展示教学目标，学习重点难点） 教学目标：让学生会用公式法，倒序相加法和错位相加，裂项相消法等各种方法求数列的和。 教学重点：用公式法公式法，倒序相加法和错位相加，裂项相消法求数列的和 教学难点：错位相加，裂项相消法求数列的和 二．思（思考下列各种求数列求和的方法，并完成例题） 求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： 1．公式法 公式法是数列求和常用的方法，等差数列{an}的前n项和公式Sn＝＝na1＋d，等比数列{an}的前n项和公式Sn＝ [例1]　设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*).{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 2．倒序相加法 若一个数列{an}中与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和(一般情况下，首末两项之和为一个常数)，则可将“正着写和”与“倒着写和”的两式相加，便得到一个常数列的和，两边都除以2，即得到数列{an}的前n项和． [例2]　设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝__________． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的五种变形： (1)＝(k≠0)； (2)＝； (3)＝(－)(k≠0)； (4)＝； (5)若数列{an}是等差数列，且公差d≠0，则＝. [例3]　若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn. 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解． [例4]　若公比为q的等比数列{an}的首项a1＝1，且满足an＝(n＝3，4，5，…). (1)求q的值； (2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加． [例5]　已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋q(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn. 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两(或多项)结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [例6]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，anan＋1an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，且anan＋1≠1，求其前2 024项和S2 024. 3、 议（典型例题） 四：展（例题） 自由展和预设展 五．评 点评学生疑惑或者出错的地方 6． 检 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝________． 2.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，求数列的前n项和Tn. 3. 设f(x)＝，求f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＋f(2 024). 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S2＝8，S3＝9. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最大值． 5.已知等比数列{an}满足：a1＝，a1，a2，a3－成等差数列，公比q∈(0，1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn. 6.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝an＋1－1，则Sn＝________． 7．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 七．课堂小结 掌握各种求数列求和的方法，及其结构特征。 学科网（北京）股份有限公司 $$