第07讲空间向量的综合应用讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第07讲 空间向量的综合应用 考点21 求空间距离 【常见方法】求空间距离常用的方法 (1)直接法:利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定定理,作出垂线段,再通过解三角形求出距离. (2)间接法:利用等体积法、特殊值法等转化求解. (3)向量法:空间中的距离问题一般都可转化为点到平面的距离问题进行求解. 求点P到平面 的距离的三个步骤: ①在平面 内取一点A,确定向量的坐标; ②确定平面 的法向量n; ③代入公式d=求解. 【典例分析21】 1、如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点. (1)求点N到直线AB的距离; (2)求点C1到平面ABN的距离. 2、设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是( ) A. B. C. D. 考点22 探索性问题 【常见方法】探索性问题的求解策略 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断. (1)对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等. (2)对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数. 【典例分析22】 1、如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2. (1)求证:AB⊥PC; (2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M AC D的大小为45 ,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由. 2、如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在, 求AP的长;若不存在,说明理由. 考点23 翻折与展开问题 【常见方法】翻折问题的两个解题策略 确定翻 折前后 变与不 变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形,分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决 确定翻 折后关 键点的 位置 所谓的关键点,是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动,会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化,以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置,才能以此为参照点,确定其他点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算 【典例分析23】 1、如图①,在等腰梯形ABCD中,E为CD的中点,AB=BC=CE,将 ADE, BCE分别沿AE,BE折起,使平面ADE⊥平面ABE,平面BCE⊥平面ABE,得到图②. (1)证明:AB∥CD. (2)记平面ADE与平面BCE的交线为l,求二面角D l C的大小. 2、在 ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1,以DE为折痕将 ADE折起,使点A达到点P的位置,如图2. (1)证明:平面BCP⊥平面CEP; (2)若平面DEP⊥平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$