第06讲空间向量的应用讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第06讲　空间向量的应用 【必备知识】 1．空间角 (1)异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是，则cosθ＝|cos 〈u，v〉|＝． (2)直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ， 直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos 〈u，n〉|＝． (3)平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二 面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角 即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则 cosθ＝|cos 〈n1，n2〉|＝． 2．空间距离 (1)点P到直线l的距离 设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上 的投影向量＝(a·u)u．在Rt△APQ中，由勾股定理， 得PQ＝＝． (2)点P到平面α的距离 若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一 点P到平面α的距离d＝，如图所示． (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离． 特别提醒：直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为　　 考点18　利用空间向量求空间角 【常见方法】向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系； (2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 特别提醒：注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 【典例分析18】 1、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 2、在正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________，异面直线DM与CN所成角的余弦值为________． 3、如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中 点，＝λ，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值 为________． 考点19　求直线与平面所成的角 【常见方法】利用空间向量求线面角的解题模型 【典例分析19】 1、如图，在四棱锥P­ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD． (1)求证：PB＝PC； (2)求直线PA与平面PCB所成角的正弦值． 　　 2、如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，PC＝2，E为PB中点，________，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值． 从①CD⊥BC；②BC∥平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答． 考点20　平面与平面所成的角 【常见方法】向量法计算二面角大小的常用方法 (1)法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)定义法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 特别提醒：二面角的范围与两平面夹角范围的不同，求解时应分清 【典例分析20】 1、如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM． (1)求BC； (2)求二面角A­PM­B的正弦值． ． 　　 2、如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝PB＝2，AD＝1，E是PB的中点，作EF⊥PC交PC于点F，且＝． (1)求证：PC⊥平面AEF； (2)求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$