第05讲空间向量的运算及应用讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第05讲　空间向量的运算及应用 【必备知识】 1．空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向 量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量 基本定理 及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 特别提醒：0不能作为基向量．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b． ②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c (3)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余 弦值 cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 3．空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3) 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 4、证明空间任意三点共线的方法：对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线． ①＝λ(λ∈R)； ②对空间任一点O，＝＋λ(λ∈R)； ③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)． 5、证明空间四点共面的方法：对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面． (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥或∥)．　　 考点14　空间向量的线性运算 【常见方法】用已知向量表示某一向量的方法 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． 【典例分析14】 1、在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　) A．(2，3，3) B．(－2，－3，－3) C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1) 2．如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 考点15　共线、共面向量定理的应用 【常见方法】证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ且同过点P ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 【典例分析15】 1、已知O(0，0，0)，A(－2，2，－2)，B(1，4，－6)，C(x，－8，8)，若O，A，B，C四点共面，则x＝________． 2、若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________． 3、已知A，