第04讲 空间直线、平面的垂直 讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第04讲　空间直线、平面的垂直 【必备知识】 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 3、常用的结论： 在四面体中： ①若，则；且在平面上的射影是的垂心。 ②若，则在平面上的射影是的外心。 ③若到边的距离相等，则在平面上的射影是的内心。 如图，四棱柱为长方体，点是中点，是的中点 （1）求证平面 （2）若，求三棱锥的体积 4、平行与垂直的证明 考点11　直线与平面垂直的判定与性质 角度01　证明线面垂直 【典例分析11】 1、如图，在已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD于点E，作AH⊥BE于点H，求证：AH⊥平面BCD． 角度02　证明线线垂直 【常见方法】1．证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b∩c＝M，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α)； (2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a⊂β⇒a⊥α)； (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； (4)利用垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． 2．证明线面垂直的流程 证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．思维流程如下： 第一步：找相交直线 在一个平面内找到两条相交直线 第二步：证明线线垂直 证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直 第三步：证线面垂直 利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直 第四步：证线线垂直 由线面垂直的性质得到线线垂直 2、已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1． (1)求三棱锥F­EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE． 3、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1．证明：当AB＝BC时，EF⊥AC． 考点12　平面与平面垂直的判定与性质 面面垂直的证明方法 【常见方法】(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化成证明二面角的平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线面垂直加以解决．　　 【典例分析12】 1、如图，四棱锥P­ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM． 证明：平面PAM⊥平面PBD； 2、如图，三棱锥P­ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2． 求证：平面PAC⊥平面ABC． 考点13　垂直关系的综合应用 【常见方法】平行、垂直的转化 【典例分析13】 1、如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD． 　　 2、如图，四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB． (1)求证：CD⊥AP； (2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$