第02讲　空间点、直线、平面之间的位置关系讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第02讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 【必备知识】 1．平面的基本性质及相关定理 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面，使 (1)确定一个平面； (2)判断两个平面是否重合； (3)证明点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 判断直线在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 且 (1)证明“三点共线 ”“三线共点”； (2)确定两平面的交线 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 证明线线平行 两角相等或互补的定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 判断或证明两角相等或互补 2．空间中点、线、面之间的位置关系 类别 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线与直线 共面 平行 a∥b 0 相交 a∩b＝A 1 异面 a，b异面 0 直线与平面 直线a在 平面α内 无数个，就是直线a上的所有点 直线在平面外 直线a与平面平行 0 直线a与平面相交 1 平面与平面 平面α与平 面β平行 0 平面α与平 面β相交 无数，就是交线l上 的所有点 3．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：． (3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 考点05　基本事实的应用 角度01　证明点线共面 【常见方法】点、线共面的常用判定方法 (1)纳入平面法：要证明“点共面”或“线共面”，可先由部分点或直线确定一个平面，再证其余点或直线也在这个平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． (3)反证法． 提醒：在选择已知条件确定平面时，要看其余的点或线在确定的平面内是否能证明． 【典例分析05】 1、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是 AB和AA1的中点，求证：E，C，D1，F四点共面． 　　 角度02　证明三线共点 【常见方法】证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上，而第三条直线恰好是两个平面的交线．　 2、如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，P，Q，R分别在棱 AB，BB′，CC′上，且DP，RQ相交于点O． 求证：DP，RQ，BC三线共点． 角度03　证明三点共线 【常见方法】证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，则这三点都在交线上，即三点共线． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线． 3、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点， G，H分别在BC，CD上，设EG与FH交于点P， 求证：P，A，C三点共线． 考点06　空间两直线的位置关系 【常见方法】空间两直线位置关系的判定方法 特别提醒：异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交． 【典例分析06】 1、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，其中正确的结论为(　　) A．直线AM与C1C是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线MN与AC所成的角为90° 2、已知直线和平面，且在内的射影分别为直线和，则直线和的位置关系是(　　) A．相交或平行　　　　 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 考点07　异面直线所成的角 【常见方法】求异面直线所成的角的三步曲 (1)一作：即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是异面直线所成的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是异面直线所成的角．　　 【典例分析07】 1、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点G，H分别在棱B1C1，A1D1上，且A1H＝C1G＝A1D1，则异面直线