第01讲基本立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积讲义-2024届高三数学一轮复习

努力成就梦想 方法创造奇迹 第七章 立体几何初步与空间向量 第01讲　基本立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积 【必备知识】 1、简单几何体 多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2、简单的多面体 （1）棱柱的结构特征①有两个面互相平行②其余各个面都是平行四边形③每相邻两个四边形的公共边互相平行。 （2）棱锥的结构特征①有一个面是多面体②其余各面是有一个公共顶点的三角形. 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正三角形，侧棱与底棱不一定相等。 （3）棱台的结构特征①棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，两平行平面之间的部分②棱台的侧棱延长线交于一点 特殊的四棱柱 (4)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲ 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ▲球的截面的性质 (1)球的任何截面是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为. 3．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中，轴、轴的夹角为(或)，轴与轴和轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 斜二测画法的步骤： （平行的仍然平行，平行y轴的取其一半，其它都不变) （3）斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” “三不变” 4、空间几何体的表面积与体积公式 （1）表面积 侧面积 表面积 圆柱 圆锥 圆台 球 （2）体积 几何体名称 体　积 棱(圆)柱 (为底面面积，为高) 棱(圆)锥 (为底面面积，为高) 棱(圆)台 (，为上、下底面面积，为高) 球 (为球半径) 说明：①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为，，，，得. 体积： 注：球内切于四面体：。 ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 5、几何体体积的求解方法（1）割补法（2）等体积转化法 6、多面体中球的切、接问题。 7、常用结论：几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为，球的半径为， ①若球为正方体的外接球，则；②若球为正方体的内切球，则； ③若球与正方体的各棱相切，则. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点01　空间几何体的结构特征 【常见方法】空间几何体概念的辨析方法 　　 【典例分析01】 1．下列结论正确的是(　　) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　　) A．10 B．10 C．10 D．5 3．下列命题正确的是(　　) A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 考点02　空间几何体的直观图 【常见方法】平面图形与其直观图的关系 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形． 【典例分析02】 1．已知等腰梯形，，以所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为________． 2用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　) 3．已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为________． 考点03　空间几何体的表面积和体积 角度一　空间几何体的表面积 【常见方法】三类几何体表面积的求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求