专题十 一元一次方程考点知识梳理专题训练（10）2023-2024学年人教版七年级数学上册

七年级数学上期末培优专题复习 专题十 一元一次方程考点知识梳理专题训练 知识点回顾 一、一元一次方程 1.方程：含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程可以化为ax+b=0（a≠0）的形式，分母中不能含有未知数。 4.求方程的解叫做解方程 二、等式的性质（解方程的依据） 1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么a±c=b±c。 2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc， =（c≠0） 拓展：①对称性：如果a=b，那么b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（等量代换） 三、一元一次方程的解法 （1）去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数。 注意：在方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不能漏乘任何一项。 （2） 去括号； 注意：①去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；②括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。 （3） 移项；把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。。 注意：移项要变号。 （4） 合并同类项； 注意：合并同类项系数相加，字母字母的指数不变。 （5）系数化为1 注意：依据等式性质2，两边同时除以未知数系数 四、一元一次方程模型的应用（难点） 1.一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。 弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。 解方程模型应用的几种类型 一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。 找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。 主要的应用模型有以下几类： 不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。 （一）行程问题 行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。 等量关系为：①路程=速度×时间； ②速度=路程/时间； ③时间=路程/速度 1.航行问题 ①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； ②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。 由此可得到航行问题中一个重要等量关系： 顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。 2.相遇问题 A走的路程+B走的路程=两地之间的距离 3.追击问题 同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离） 4.环形问题 （1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇） （2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇） （二）工程问题 1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间； 工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。 2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。 3.常见的相等关系有两种： ①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。 ②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差 一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率 （三）销售计费问题 销售类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。 （1）价格费用问题 费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量 基本关系式有 费用（总价）=单价×数量 分段计费：总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+…… （2）销售利润问题 利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 基本关系式有： 利润＝销售价（收入）-成本（进价）； 成本（进价）＝销售价（收入）-利润； 利润率＝； 利润＝成本（进价）×利润率。 在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。 打折：n折即表示标价的n/10，如7折为70% （3）存贷问题（利息、利润问题） 存贷问题中有本金、利息、利率