河北省唐山市2023-2024学年高三上学期数学期末模拟试卷

河北省唐山市2023-2024学年高三年级数学期末模拟试卷 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面上对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致为 A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁四名同学在一次联欢会上合唱一首歌曲,他们商议:前四句歌词每人唱一句,其中甲和乙唱相邻的两句且甲不能唱第一句,第五句歌词由两人合唱,第六句歌词由另外两人合唱,歌曲的余下部分由四人合唱,则四人唱完这首歌曲的不同唱法的种数是(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 6．已知，，，则 A． B． C． D． 7．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝ ，若∃x1，x2∈R，且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2），则实数a的取值范围是（　　） A．[2，3]∪（﹣∞，﹣5] B．（﹣∞，2）∪（3，5） C．[2，3] D．[5，+∞） 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是为（    ） A．的图像关于原点对称 B． C．的值域为 D．，且，则恒成立 10．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 11．已知函数（，，），满足：，恒成立，且在上有且仅有2个零点，则（    ） A．， B．函数的单调递增区间为 C．函数的对称中心为 D．函数的对称轴为直线， 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、在上，，，则（    ） A． B．的离心率为 C．的短轴长为 D．的面积为 三、填空题 13．已知是平面单位向量，且，若平面向量满足，则 ． 14．定长是3的线段AB的两端点在抛物线上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是 . 15．如图，长方体中，，点在线段上，且为线段的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 16．已知，，，，，，例如，则，，，．若，则 ． 四、解答题 17．已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 18．在中，内角所对的边分别为，设满足条件和， (1)求角和； (2)若，求的面积； (3)求． 19．1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，若都是红球，则可获得现金50元；若只有1个红球，则可获得20元购物券；若没有红球，则不获奖. (1)若某顾客有1次抽奖机会，求该顾客获得现金或购物券的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得现金为X元，求X的分布列和数学期望. 20．如图，在三棱锥中，平面，已知，点分别为的中点. （1）求证：； （2）若F在线段上，满足平面，求的值； （3）若三角形是正三角形，边长为2，求二面角的正切值. 21．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点. 22．已知函数，曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求函数的最小值； （Ⅲ）求证：存在，当时， ． 答案 1．B 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．AC 10．ABD 11．BCD 12．ABD 13． 14． 15． 16．0 17．（1） 从而有：，………… 叠加可得：， 又满足等式，从而 （2），① ② ①-②得： 即有：. 18．（1）由余弦定理得， 因为，所以． 由已知条件，应用正弦定理 ， 即， 所以． （2）因为，所以， 所以． （3）因为， 所以，又， 所以， 所以． 因为， 所以． 19．（1）根据题意，取出的小球没有白球，即获得现金或购物券的概率为. （2）X的所有可能取值为150，100，50，0， 一次抽奖抽到两次均为红球的概率为，其他情况概率为， ∴，， ，. ∴X的分布列如下： X 150 100 50 0 P ∴X的数学期望为：. 20．（1）因为平面，平面，所以， 又因为，是的中点，所以， 而、是平面内的相交直线，所以平面， 而平面，所以. （2）连结，交于点，连结、 因为平面，平面，平面平面， 所以， 已知、分别是、的中点，则为的中位线，