2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题复习：圆的切线证明

2023-2024年人教版九年级上册数学期末专题复习：圆的切线证明 1．如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：． 2．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 3．如图，在中，，，点O在边上，经过点A和点B且与边相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 4．如图，是的外接圆，是的直径，点D是的中点，点E是延长线上的一点，连接，． (1)求证：是的切线， (2)若，求的长． 5．如图，为的直径，点在外，的平分线与交于点，连接、，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，的长等于______． 6．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若弦垂直于，垂足为G，，，求的半径． 7．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； 8．如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 9．如图，在中，，以为直径的与相交于点，且，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)，的半径为，求图中阴影部分的面积． 10．如图，四边形内接于是的直径，过点作的垂线，交的延长线于点，连接． (1)若平分，求证：是的切线； (2)若是的切线，，求的度数． 11．如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点． (1)求证：是的切线： (2)已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？ 12．如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点D，交腰于点H，过点D作腰的垂线，垂足为E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）条件下，求阴影部分的面积S． 13．如图，在中，，以为直径作半圆O交于点D，点E为中点，连接． (1)求证：是半圆O的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，A是的直径延长线上的一点，点B在上，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 15．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 16．如图，在中，，以为直径的交于点，于点． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长（结果保留） 17．如图，内接于，是上一点．过点作，交的延长线于点．连接、，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，，则的半径为______． 18．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求的长． 19．如图，以正方形的边为直径作，是上一点，于点，作直线交于点． (1)求的长； (2)求证：是的切线． 20．如图，中，，D是边上一点，且，E是边上的一点，以为直径的经过点D． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1． 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质和等腰三角形的判定与性质． （1）连接，由，得，可得，，又，故，是的切线； （2）先连接，然后证明，，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：连接，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）证明：如图：连接， 由（1）知是的切线， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆，三角形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，等腰三角形的性质，勾股定理的运用． （1）根据等腰三角形的性质，等边对等角，得，根据，则；再根据，则，最后根据，则，即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质，三线合一，圆的性质，则且，根据勾股定理求出，再根据，求出；过点作，根据平行线的性质，则，根据勾股定理求出，再根据垂径定理求出，根据，即可． 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的切线． （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，即有，进而可得，问题随之得证； （2）根据角度可得，进而可得，，在中，，再根据计算即可． 【详解】（1）连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线 （2）∵，， ∴， ∵，，， ∴，， 在中，