2024年河南省中考数学微专题复习 二次函数的图象与性质 课件

二次函数的图象与性质 1 类型1 对称性、增减性、最值、范围问题 1.已知抛物线 . （1）当 时， ①求抛物线的对称轴； [答案] 当 时，抛物线的表达式为 ， 抛物线的对称轴为直线 . 2 ②当 时，求函数值 的取值范围. [答案] 由①可知抛物线的对称轴为直线 . 抛物线的开口向上， , 当 时， 取最小值，为 . 抛物线开口向上， ， 当 时， 取最大值，为0， 函数值 的取值范围是 . 3 （2）当 时，抛物线 上最低点的 纵坐标为 ，求 的值． [答案] 易知抛物线的开口向上，对称轴为直线 . 设抛物线 上最低点的纵坐标为 ，分三种情况讨论： ①当 ，即 时，在 范围内， 随 的增大而增大， ，即 ， 解得 （不合题意，舍去）； 4 ②当 ，即 时， ，即 ，解得 （不合题意，舍去） ， ； ③当 ，即 时，在 范围内， 随 的增大而减小. ，即 ，解 得 （不合题意，舍去）. 综上可知， . 5 2.已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，解决下列问题： （1）除点 外，二次函数的图象恒过点 ，求线段 的长； [答案] 对于 ， 当 时， ， 当 时， ， ， ， . 6 （2）当 ， 时，二次函数 有最小值,为 ，求 的值； [答案] 二次函数 的图象的对称轴为直线 . 又 ， 当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 有最小值，即 ， 解得 . 7 （3）该二次函数的图象上有 ， 两点，若当 ， 时，都有 ，求 的取值范围. [答案] 由 可知点 ， 不关于对称轴，即直线 对称， ，即 或 . ， ， , 或 ， 解得 或 . 8 3.［原创新题］如图，抛物线 与 轴交 于点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的右边）， . 9 （1）求抛物线的表达式； [答案] 对于 ，当 时， ， . 又 ， ， . 将 代入 ，得 ， 解得 ， 抛物线的表达式为 . 10 （2） 为抛物线上任意一点，将点 向上平移2个单位长度得到点 ,若点 关于原点 的对称点恰好落在抛物线上，求此时点 的坐标； [答案] 设点 的横坐标为 ,则点 的坐标为 ,点 的 坐标为 . 设点 关于原点的对称点为 ,则点 的坐标为 . 点 在抛物线 上， ，解得 或 ， 点 的坐标为 或 . 11 （3）将抛物线 向右平移 个单位长度得到抛物 线 ，若点 ， 均在抛物线 上，且 ，求 的取值范围. [答案] 由（1）知，抛物线的表达式为 ， 抛物线的对称轴为直线 . 将抛物线 向右平移 个单位长度得到抛物线 ， 12 抛物线 的对称轴为直线 . 点 ， 均在抛物线 上，抛物线 开口向下，且 ， ， . 又 ， . 13 4.抛物线 在平面直角坐标系中的 位置如图所示，抛物线 不经过第三、四象限， 直线 分别与抛物线 ， 交于点 , （注：直 线 不经过抛物线 ， 的交点），设 的长 度为 . （1）抛物线 的对称轴为直线_ _______; 14 （2）求抛物线 的表达式； [答案] 对于 ,当 时， ， 抛物线 的顶点为 . 抛物线 不经过第三、四象限， ， 抛物线 的顶点在 轴上或在 轴上方， ，即 ， ， 故抛物线 的表达式为 . 15 （3）当 随 的增大而增大时，直接写出 的取值范围. [答案] 的取值范围为 或 . [解析] 解法提示:抛物线 如图所示. 令 ， 解得 ， ， 故抛物线 ， 交点的横坐标分别为 ， . 易知 ， ， 16 则 . 当 时， ， 当 时， 随 的增大而减小， 故这种情况不符合题意. 当 时， ， 17 当 时， 随 的增大而增大. 当 时， ， 当 时， 随 的增大而增大. 综上可知，当 随 的增大而增大时， 的取值范围为 或 .（注：端点处等号可不取） 18 类型2 交点问题 5.[2