解析几何最值、范围、证明问题课件-2024届高三数学一轮复习

邻水县九龙中学 秦文轩 圆锥曲线的综合问题 --最值、范围、证明问题 考点要求 1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法. 2．了解圆锥曲线的简单应用. 3．理解数形结合的思想． 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C______； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C______； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C______． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是______；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是____________． 相交 相切 相离 平行 平行或重合 知识点二 圆锥曲线中的最值与取值范围问题 圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有： (1)转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值． (2)利用三角函数有界性求最值． (3)数形结合利用几何性质求最值． 考点一 最值问题 方法技巧 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． (2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点，当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 考点二 范围问题 方法技巧 求解范围问题的常见方法 (1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围． (5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围． 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x 轴的直线与C交于A，B两点，△AOB(点O为坐标原点)的面积为2. (1)求抛物线C 的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 考点三 证明问题 （1） 解；略 方法技巧 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝·|x1－x2|＝____________________________＝·|y1－y2|＝____________________________. [例1]　已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)(c>0)，离心率为，经过F且垂直于x轴的直线交Γ于第一象限的点M，O为坐标原点，且|OM|＝. （1）求椭圆Γ的方程； (2)设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A，B两点，A，B关于原点O对称的点分别是点C，D，试判断四边形ABCD的面积有没有最大值．若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． [解]　由题意知＝，即a2＝c2，① 又由a2＝b2＋c2，可得b2＝.② 联立解得 则点M.则|OM|＝＝.③ 联立①②③，解得c＝，a＝2，b＝1. 故椭圆Γ的方程为＋y2＝1. [解