4.1.2指数函数的性质与图像-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

4.1.2指数函数的性质与图像 题型1指数函数的判断 3 题型2指数函数求值 5 题型3指数函数含参求值 5 题型4指数函数的解析式 6 题型5指数函数图象问题 6 题型6指数函数过定点问题 10 题型7定义域问题 11 题型8指数函数的对称性 11 题型9指数函数图像中的含参问题 13 题型10指数函数比较大小问题 14 题型11指数方程 15 题型12指数函数不等式 16 ◆类型1 指数不等式 16 ◆类型2 抽象不等式 17 题型13 指数函数的性质 18 知识点一.指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量． 【结构特征】 (1) 底数：大于零且不等于1的常数； (2) 指数：仅有自变量； (3)系数：的系数是1. 知识点二.指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 注意∶ 底数a与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”.当a>1时，指数函数的图像是“上升”的；当0<a<1时，指数函数的图像是"下降"的. 知识点三.两类指数模型 1．y＝kax(k>0)，当a>1时为指数增长型函数模型． 2．y＝kax(k>0)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型． 知识点四. 指数函数单调性的应用 1.比较幂的大小 比较幂的大小的常用方法： (1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域 形如的函数的定义域就是的定义域． 求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若的范围不确定，则需对进行讨论． 求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域． (2)判断复合函数的单调性 令，，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数在上是减函数． (3)研究函数的奇偶性 一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性． 二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或轴对称，则函数具有奇偶性． 知识点五.简单指数不等式的解法 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解． 题型1指数函数的判断 【方法总结】判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax前的系数是否为1； (3)指数是否符合要求 【例题1】（2019上·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）下列函数中指数函数的个数是（    ） ①    ②    ③    ④（为常数，，） ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】1. （2021上·高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】2. （2017·高一课时练习）下列函数中，指数函数的个数为(　　) ① ②y＝ax ； ③y＝1x；④ A．0 B．1 C．3 D．4 【变式1-1】3．（2023·全国·高一专题练习）给定下列函数： ①； ②； ③，且； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧. 其中是指数函数的有 .（填序号） 题型2指数函数求值 【例题2】（2023上·河北保定·高一河北定兴第三中学校联考期中）已知函数，则 . 【变式2-1】1．（2021·四川攀枝花·高一期末）已知函数，则______ 【变式2-1】2．（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数为定义在R上的奇函数，则____. 【变式2-1】4．（2022·全国·高一专题练习）若函数是奇函数，为偶函数，则 ________. 题型3指数函数含参求值 【例题3】（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝ . 【变式3-1】1. （2017上·湖南株洲·高一阶段练习）已知函数为指数函数，则 . 【变式3-1】2.（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知指数函数的图象经