专题08 等差数列通项与前n项和（12大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019）

专题08 等差数列通项与前n项和 知识点1 等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 【注意】 （1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． （3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 知识点2 等差数列的通项与性质 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 3、等差数列的性质 （1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. （2）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即 （3）若是公差为d的等差数列，则 ①（c为任一常数）是公差为d的等差数列； ②（c为任一常数）是公差为cd的等差数列； ③（k为常数，k∈N*）是公差为2d的等差数列． （4）若，分别是公差为d1，d2的等差数列， 则数列 (p，q是常数)是公差为的等差数列． （5）通项公式的推广： (n，m∈N*)． 知识点3 等差数列的前n项和与性质 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列的前n项和的常用性质 （1）设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； （2）数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； （3）若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. （4）在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 3、等差数列的前n项和公式与二次函数 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 考点1 等差数列的基本量计算 【例1】（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，则数列的公差是（ ） A． B． C． D．3 【变式1-1】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）数列为等差数列，若,，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，，则（ ） A．240 B．180 C．120 D．60 【变式1-3】（2023·江苏徐州·高二统考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C．2022 D．2023 【变式1-4】（2023·江西新余·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差（ ） A．3 B．2 C． D．4 考点2 等差数列通项性质应用 【例2】（2023·河北·高二校联考阶段练习）在等差数列中，，则的值为（ ） A．20 B．15 C．10 D．5 【变式2-1】（2023·宁夏银川·高二银川二中校考阶段练习）已知等差数列，其前项和为，则（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 【变式2-2】（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）在等差数列中，若，则（ ） A．4 B．5 C． D． 【变式2-3】（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在等差数列中，，，则（ ） A．39 B．76 C．78 D．117 【变式2-4】（2023·高二课时练习）在等差数列中，，则 . 考点3 等差数列单调性及应用 【例3】（2023·高二课时练习）（多选）已知等差数列的公差,则下列四个命题中真命题为（ ） A．数列是递增数列 B．数列