椭圆、双曲线中心弦和中点弦性质及应用讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆、双曲线中心弦和中点弦性质及应用 广州市花都区邝维煜纪念中学 汤国贤 1、 题目来源 1、 人教A版选修性必修第一册第108页例3 如图，设点A、B两点的坐标分别是，直线和直线相交于点M。且他们的斜率之积为，求点M的轨迹方程。 2、 人教A版选修性必修第一册第121页探究 如图，设点A、B两点的坐标分别是，直线和直线相交于点M。且他们的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与第108页例3比较，你有什么发现。 2、 关于椭圆、双曲线的“” （一）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x轴为例） 1、椭圆：若AB是椭圆的中心弦（过对称中心的弦），设P点是椭圆上的任一点，若PA、PB的斜率均存在，则； 2、双曲线：若AB是双曲线的中心弦（过对称中心的弦），设P点是双曲线上的任一点，若PA、PB的斜率均存在，则 （二）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x轴为例） 1、 椭圆：若AB是椭圆的一条不过椭圆中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则； 2、双曲线：若AB是双曲线的一条不过双曲线中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则； （三）中点弦和中心弦性质之间的联系：（以焦点在x轴的椭圆为例） 如图，若AB是椭圆的一条不过椭圆中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则（中点弦性质）； 连接OB，交椭圆于点C，易得：O是BC的中点，M是AB的中点，OM是三角形ABC的中位线，则： ，于是：（中心弦性质） 三、中心弦和中点弦性质应用 1（2022年全国甲卷理科）已知椭圆的左顶点为A，点P、点Q均在椭圆上， 且关于y轴对称，若直线AP、AQ的斜率乘积为，则C的离心率为（ ）。 A、 B、 C、 D、 解：如右图，作Q关于x轴对称的点H，易得： PH是中心弦，AQ与AH的斜率互为相反数； 又，则； 因此：，故选A； 2、如图，已知过原点O的直线AB交椭圆于A、B两点，过点A分别作x轴和AB的垂线AP和AQ，分别交椭圆于P、Q两点，链接BQ，交AP于点M，若，则椭圆的离心率为_______。 解：设，易得： ； 可知：，解得：。 3、 （2022年新高考Ⅱ卷）已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点，且|MA|=|NB|，3，则直线l的方程是________________。 解：如图，因为|MA|=|NB|，则AB的中点与MN的中点相同，设为E； （理由：设E是AB中点，NB=MA，则NE+EB=ME+EA，且EB=EA，于是：NE=ME，也就是说：E也是MN中点） 则；设直线AB为y=kx+m，由题意可知，，可得：；，则，且，得；，得 因此，直线l的方程是：。 学科网（北京）股份有限公司 $$